第6章 弹性薄板小挠度弯曲问题的基础变分原理
平分板厚度的平面称为板的中面，一般地，当板的厚度t不大于板中面最小尺寸的1/5时的板称为薄板，薄板的中面是一个平面。薄板在垂直于中面的载荷作用下发生弯曲时，中面变形所形成的曲面称为弹性曲面或挠度面，中面内各点在未变形中面垂直方向的位移称为板的挠度。薄板弯曲的精确理论应是满足弹性力学的全部基本方程，但这在数学上将会遇到很大的困难。1850年，G.R.基尔霍夫（Kirchhoff Gustav Robert，基尔霍夫 古斯塔夫·罗伯特，德国物理学家，1824-1887年）除采用弹性力学的基本假设外，还提出了一些补充的假设，从而建立起了薄板小挠度弯曲的近似理论。这些假设是：第一，变形前垂直于板中面的直线，在板变形后仍为直线，并垂直于变形后的中面，而且不经受伸缩；第二，与中面平行的各面上的正应力?z与应力?x,?y和?xy相比属于小量；第三，在横向载荷作用下板发生弯曲时，板的中面并不伸长，这也就是说，薄板中面内各点都没有平行于中面的位移分量。
用变分法可以导出薄板弯曲问题的平衡微分方程和边界条件。当板的形状和边界条件较复杂时，直接求解偏微分方程时比较困难的，以变分法为基础的各种近似解是求解这类问题的一个重要途径。
本章讨论了用于薄板小挠度弯曲问题的一些基础变分原理，这包括虚功原理、最小位能原理、最小余能原理、两类自变量广义变分原理并推广到三类自变量广义变分原理。
§6.1 基本方程与边界条件回顾
取坐标平面oxy与中面重合，z轴垂直于中面，x,y和z轴构成一个右手直角笛卡儿坐标系。变形后的板内各点沿x,y和z轴方向的位移分别用u,v和w表示。由Kirchhoff假设，可以得到
u(x,y,z)??z?w?w，v(x,y,z)??z，w(x,y,z)?w(x,y) （6-1）
?y?x并利用弹性力学中位移与应变之间的关系式，可以得到薄板中任意点的应变分量为
?2w?2w?2w?x??z2，?y??z2，?xy??2z （6-2）
?x?y?x?y其余3个应变分量?z,?xz和?yz根据假设都等于零，即
?z?0，?xz?0，?yz?0 （6-3）
由薄板的平衡关系，可以确定板的横向分布载荷q(x,y)与剪力Qx,Qy以及弯矩
Mx,My和扭矩Mxy（Mx,My,Mxy统称
为内力矩）与Qx,Qy之间的关系式。这里要注意，Mx,My,Mxy是单位中面宽度内的内力矩，它们的因次是千克力，Qx,Qy是单位中面宽度内的内力，它们的因次是千克力
/米。弯矩、扭矩和剪力的正方向如图6-1所示。 平衡方程为
图6-1 弯矩、扭矩和剪力的正方向
??Mx?Mxy??Qx??x?y??Mxy?My???Qy? （6-4） ?x?y??Q?Qx?y???q(x,y)??x?y?在薄板弯曲理论中，剪力Qx,Qy不产生应变，因而也不作功，因此可以从（6-4）式中消去
Qx,Qy，得到
Mxy?2My?2Mx?2?2?q(x,y)?0 （6-5） 2?x?y?x?y以后凡提到薄板弯曲平衡方程，都是指（6-5）式而言。而内力Qx,Qy不再作为独立的量看
待。上面两组方程仅仅是力的平衡方程，它们未涉及到板的材料性质。
与内力矩相对应的广义应变是挠度面的曲率kx,ky,kxy，在小挠度弯曲理论中，它们与挠度w的关系为
?2w?2w?2wkx??2，ky??2，kxy?? （6-6）
?x?y?x?y~~内力矩与曲率的关系可以通过应变能密度U表示出来，若将U表示为kx,ky,kxy的函数，
则有
~~~?U1?U?U，My?，Mxy? （6-7） Mx??ky2?kxy?kx~这种关系式对于线性或非线性材料都成立。对于线性的弹性体，U是kx,ky,kxy的正定的二
~次齐次函数。在各向同性的情况下，U的算式为
~12U?D[(kx?ky)2?2(1??)(kxky?kxy)] （6-8）
2将（6-8）式代入（6-7）式，然后再将（6-6）式代入，得到内力矩与挠度的关系式为
?2w?2w?Mx??D(2??2)??x?y??2w?2w?My??D(2??2)? （6-9）
?y?x??2w?Mxy??(1??)D?x?y??Et3以上各式中D?称为板的弯曲刚度，其中t为板的厚度，?为材料的泊松系数。 212(1??)如果我们定义{?}为广义应变，?M?为广义应力，即
2?kx????w??Mx???2?????x??2????????w???{?}??ky????2?， {M}??My? （6-10）
????y2????w???????2Mxy?????2kxy??????x?y??则有
{M}?[D]{?} （6-11）
式中的[D]为弯曲刚度矩阵。（6-8）式可以写为
~1U?{?}T[D]{?} （6-12）
2~*余应变能密度U看作是内力矩Mx,My,Mxy的函数，其值定义为
~~U*?Mxkx?Myky?2Mxykxy?U （6-13）
并且有
~~~?U*?U*?U*，ky?，2kxy? （6-14） kx??My?Mxy?Mx~*
同样，对于线性的弹性体，U是Mx,My,Mxy的正定的二次齐次函数。
如果以广义应力{M}表示余应变能密度，则有
1~U*?{M}T[C]{M} （6-15）
2式中[C]?[D]。
（6-12）式与（6-15）式都是以后经常要用到的表达式。注意，对于线弹性薄板，应变能密度与余应变能密度在数值上是相等的，即U?U。
将（6-9）式代入（6-5）式，得到以挠度表示的各向同性薄板的平衡方程为
?1~~*?4w?4w?4wD(4?222?4)?q(x,y) （6-16） ?x?x?y?y或
D?2?2w?q(x,y) （6-16）
在处理具体问题时，经常遇到坐标旋转而引起的变换。如果坐标由oxy转变为o??，如
/
图6-2所示，则两个坐标系中坐标的关系为
y??sin???cos?? ? （6-17）
??xcos??ysin?,???xsin??ycos??对于挠度w，有w(x,y)?w(?,?)，从而
?w?w?w??cos??sin??????x?y? （6-18）?w?w?w??sin??cos??????x?y?x??cos???sin?,图6-2 坐标转换
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