根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形． 7.【答案】5.09×106
106， 故答案是：5.09×106． 【解析】解：5090000=5.09×
10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少科学记数法的表示形式为a×
位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×定a的值以及n的值． 8.【答案】3
21
【解析】解：原式=4-2-1=4-=3．故答案为：3．
直接利用负指数幂的性质以及有理数的混合运算法则计算得出答案．
此题主要考查了负指数幂的性质以及有理数的混合运算法则，正确掌握相关运算法则是解题关键． 9.【答案】二、四
【解析】解：∵反比例函数y=
，
∴这个函数图象在第二、四象限．故答案为：二、四．
利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k值，再利用反比例函数的性质，即可得出这个函数图象所在的象限． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k值是解题的关键．
10.【答案】{??=?1或{??=?2 【解析】解：
，解：由①得，x=-3-y③，把③代入②得，（-3-y）y=2，解得：y1=-1，y2=-2，
或
，
??=?2
??=?1
2=-2＜0，∴反比例函数的解析式为y=（k是常数，k≠0）的图象经过点（-1，2），∴k=-1×
把y1=-1，y2=-2分别代入③得，x1=-2，x2=-1，∴原方程组的解为故答案为：
或
．
首先把方程①变形为x=-3-y，然后利用代入法消去x，得到关于y的一元二次方程，解方程求出y，然后就可以求出x，从而求解．
此题主要考查了二元二次方程组的解法，解答此类题目一般用代入法比较简单，先消去一个未知数再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可． 11.【答案】
21
【解析】解：掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数可能是1、2、3、4、5、6中的任意一个数， 共有六种可能，其中2、3、5是素数，所以概率为
=
，故答案为：
．
根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 本题主要考查概率的求法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 12.【答案】-2
【解析】解：∵二次函数
（m为常数）的图象有最高点，∴
，解得：m=-2，故答案为：-2．
根据二次函数的定义结合其有最高点确定m的值即可．
本题考查了二次函数的最值，解题的关键是根据二次函数的定义确定m的值，难度不大． - 6 -
13.【答案】25%
【解析】解：设这个增长率为x， 依题意，得：64（1+x）2=100， 解得：x1=0.25=25%，x2=-2.25（不合题意，舍去）． 故答案为：25%．
设这个增长率为x，根据该商品的原价及经过两次涨价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 14.【答案】7
【解析】解：∵共有20名学生，把这些数从小到大排列，处于中间位置的是第10和11个数的平均数， ∴这些测试数据的中位数是
=7小时；故答案为：7．根据中位数的定义进行求解即可．
本题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）．
11
15.【答案】-??? -? ??
3
2
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∵DE=DC，∴
=-=-，∴
=
+AE，∴，求出
，==--b，
=-
==，==，
∵DE∥AB，∴EF：AF=DE：AB=1：2，∴EF=故答案为--．根据
=
+
，∴=+=--，
即可解决问题．
本题考查平面向量，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 16.【答案】4＜r＜10
【解析】解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，由勾股定理得：AC=∵点B在⊙A上， ∴⊙A的半径是6，
设⊙A交AC于D，则AD=6，CD=10-6=4， ∵点A在⊙C外， ∴⊙C的半径小于10， 即r的取值范围是4＜r＜10， 故答案为：4＜r＜10．
根据勾股定理求出斜边AC，根据点和圆的位置关系求出⊙A的半径，再求出⊙C的半径即可．
本题考查了圆与圆的位置关系，点和圆的位置关系，勾股定理等知识点，能求出两圆的半径是解此题的关键． 17.【答案】6或3√7
【解析】解：①如图1，由题意得，AB=AC=BD=CD=4，BC=2∴四边形ABDC是菱形， ∴AD⊥BC，BO=CO=∴AO=∴AD=6＞2
=AC=
，AO=OD， =3，
②如∴AC设由勾
）2-（4-x）2，
，
=10，
=BC，∴这个凸四边形的“直径”为6；
，
图2，由题意得，AB=AC=AD=4，BC=CD=2垂直平分BD，∴AC⊥BD，BO=DO， AO=x，则CO=4-x，
股定理得，AB2-AO2=BC2-CO2，∴42-x2=（2
- 7 -
解得：x=∵BD=3
，∴AO=，∴BO==，∴BD=2BO=3，
，
＞4=AC，∴这个凸四边形的“直径”为3
．
，综上所述：这个凸四边形的“直径”为6或3
故答案为：6或3
①如图1，由题意得，AB=AC=BD=CD=4，BC=2AC=
，AO=OD，根据勾股定理得到AO=
，求得四边形ABDC是菱形，根据菱形的性质得到AD⊥BC，BO=CO=
=
=3；
②如图2，AB=AC=AD=4，BC=CD=2由题意得，根据勾股定理得到BD=2BO=3键．
18.【答案】
514
BO=DO，，得到AC垂直平分BD，求得AC⊥BD，设AO=x，则CO=4-x，
，于是得到结论．
本题考查了全等三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关
【解析】解：如图，过点C作CF⊥AA'于点F， ∵旋转 ∴AC=A'C=5，AB=A'B'=5，BC=B'C=8 ∵CF⊥AA'，∴AF=A'F
在Rt△AFC中，AC2=AF2+CF2， 在Rt△CFB'中，B'C2=B'F2+CF2，
∴B'C2-AC2=B'F2-AF2，∴64-25=（8+AF）2-AF2，∴AF=
∴AA'=
故答案为：
AB=A'B'=5，BC=B'C=8，由旋转的性质可得AC=A'C=5，由等腰三角形的性质可得AF=A'F，由勾股定理列出方程组，可求AF的长，即可求AA'的长．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，利用勾股定理列出方程组是本题的关键．
19.【答案】解：（1）∵∠ACB=90°，∴∠ACE+∠BCE=90°，
又∵CF⊥BD，∴∠CFB=90°，∴∠BCE+∠CBD=90°，∴∠ACE=∠CBD， ∵AC=4且D是AC的中点，∴CD=2，
又∵BC=3，在Rt△BCD中，∠BCD=90°．∴tan∠BCD=????=3，∴tan∠ACE=tan∠CBD=3； （2）过点E作EH⊥AC，垂足为点H，在Rt△EHA中，∠EHA=90°，∴tanA=????， ∵BC=3，AC=4，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴tanA=????=4，∴????=4， 设EH=3k，AH=4k，∵AE2=EH2+AH2，∴AE=5k，
在Rt△CEH中，∠CHE=90°，∴tan∠ECA=????=3，∴CH=2k，∴AC=AH+CH=2k=4， 解得：k=17，∴AE=17． 【解析】
（1）由直角三角形ABC，且CF垂直于BD，利用同角的余角相等得到∠ACE=∠CBD，根据AC的长确定出CD的长，利用锐角三角函数定义求出所求即可；
（2）过点E作EH⊥AC，垂足为点H，在直角三角形EHA中，利用锐角三角函数定义表示出tanA，进而表示出AE，在直角三角形CEH中，利用锐角三角函数定义表示出CH，由CH+AH表示出AC，根据已知AC的长求出k的值，即可确定出所求．
此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：勾股定理，锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 20.【答案】解：原式=
(??+2)(???2)??(??+2)
8
40
????2
9
17
????3
????3
????
????2
2
÷
??2?4??+4???2
=????
?
??1
=．当??(???2)2???2
=√3时，原式=???2=√3?2=?√3?2．
11【解析】先计算括号内的分式减法，再计算除法运算，化简后，代入x的值求解． 本题主要考查分式的混合运算，即化简求值，解题的关键是掌握运算顺序，会化简分式．
- 8 -
2(6???)＞3(???1)①
21.【答案】解：{?????2，由①得x＜3；由②得x≥0；∴不等式组的解集为0≤x＜3，
?≤1②
3
2
不等式组的解集在数轴上表示为：．
【解析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式的解集求出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集得出不等式组的解集是解此题的关键．22.【答案】解：（1）设函数关系式为y=kx+b（k≠0），由图象过点（4，6），（6，12），得：{6??+??=12，
??=3
解之得：{??=?6，所以y关于x的解析式为：y=3x-6．
（2）设甲种笔售出x支，则乙种笔售出（3x-6）支，由题意可得：3???6?
120
30??
4??+??=6
=2
整理得：x2-7x-30=0 解之得：x1=10，x2=-3（舍去）3x-6=24 答：甲、乙两种这天笔各售出10支、24支． 【解析】（1）根据待定系数法即可求出y与x的函数关系式． （2）根据题意列出关系式即可求出答案． 本题考查一次函数的应用，解题的关键是正确理解题意找出等量关系，本题属于中等题型． 23.【答案】证明：（1）∵AE2=EB?EC ∴
????????
=
????????
又∵∠AEB=∠CEA ∴△AEB∽△CEA ∴∠EBA=∠EAC
∴∠EBA=∠EAC=90° 又∵∠EBA+∠CBA=180° ∴∠CBA=90° 而∠EAC=90°
而四边形ABCD是平行四边形 ∴四边形ABCD是矩形 即得证． （2）∵△AEB∽△CEA ∴????=????即????=????，∠EAB=∠ECA
∵四边形ABCD是矩形 ∴OB=OC ∴∠OBC=∠ECA ∴∠EBF=∠OBC=∠ECA=∠EAB 即∠EBF=∠EAB 又∵∠F=∠F∴△EBF∽△BAF ∴????=???? ∴????=???? 而AF=AC ∴BF=AE 即AE=BF得证． 【解析】
（1）根据AE2=EB?EC证明△AEB∽△CEA，即可得到∠EBA=∠EAC=90°，从而说明平行四边形ABCD是矩形； （2）根据（1）中△AEB∽△CEA可得AE=BF．
本题考查的是相似三角形的判定与性质及矩形的性质，利用三角形的相似进行边与角的转化是解决本题的关键． 24.【答案】解：（1）∵点O（0，0）、A（6，0）在抛物线??=??2+????+??上
94
????
????
????
????
????
????
????
????
，再证明△EBF∽△BAF可得，结合条件AF=AC，即可证
??=0484??=?
∴{4×36+6??+??=0，解得{3 ∴抛物线的解析式为??=??2???=（x-3）2-4，∴顶点B的坐标是（3，-4）
939
9??=0
8
（2）如图，
∵A（6，0），B（3，-4） ∴直线AB解析式为：y=x-8
34
∵OP∥AB
∴直线OP解析式为：y=x
34
设点Q（3k，4k）， ∵∠OBA=∠QAB＞∠OAB， ∴k＞0
∵OP平行于AB，QA不平行于OB ∴四边形OQAP为梯形 又∵∠QAB=∠OBA ∴四边形OQAP为等腰梯形 ∴QA=OB
∴（6-3k）2+（4k）2=25 ∴??=
11
∴??(，25
253344
25
或k=-1（舍去） )
4
8
4
4
（3）由（1）知??=9??2?3??=9(???3)2?4
设抛物线向左平移m（m＞0）个单位后的新抛物线表达式为??=9(???3+
- 9 -
??)2?4
∵新抛物线与y轴负半轴相交于点C且顶点仍然在第四象限，设点C的坐标为C（0，c） ∴0＜m＜3，-4＜c＜0，
如图，过点B分别做作x、y轴垂线，垂足分别为点E、F ∴
????????
=
????
∴△BCF∽△BDE ∴==，且∠BFC=∠BED=90°= ∴3???=4 ∴????=4(3???)
????4????????4
34
2
4
4
3
4
21
3????????3????33
∴????=4?????=4?(3???)
又∵??=9(???3+??)?4 ∴????=4?9(3???)2 ∴4?4(3???)=4?9(3???)2 ∴??1=16或者m2=3（舍去） ∴??=
2116
【解析】（1）将点O，点A坐标代入解析式可求抛物线的表达式和顶点B的坐标； （2）由点A，点B坐标可求直线AB解析式，即可求直线OP解析式为：y=等腰梯形，可得OB=QA，由两点距离公式可求k的值，即可求点Q坐标；
（3）过点B分别做作x、y轴垂线，垂足分别为点E、F，由题意可证△BCF∽△BDE，可得
，可得
，可得关于m的方程，即可求m的值．
，可得
x，设点Q（3k，4k），可证四边形OQAP为
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，等腰梯形的性质，两点距离公式，相似三角形的判定和性质，找到关于m的等式是本题的关键．
25.【答案】（1）证明：∵ED⊥DP，∴∠EDP=90°．∴∠BDE+∠PDA=90°． 又∵∠ACB=90°，∴∠B+∠PAD=90°．
∵PD=PA，∴∠PDA=∠PAD．∴∠BDE=∠B．∴BE=DE． （2）∵AD=y，BD=BA-AD=5-y．
过点E作EH⊥BD垂足为点H，由（1）知BE=DE，∴????=2????=在Rt△EHB中，∠EHB=90°，∴????????=????=
????
5???
2
15???2
．
??
．
????
4
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4．∴AB=5．∴????????=????=5． ∴
5???
2
??
4
=，∴??=5
25?8??75
8
(≤??＜6
258
)．
6
3
7
（3）设PD=a，则????=5??，????=?????????=5?5?? 在等腰△PDA中，??????∠??????=5，易得??????∠??????=25 在Rt△PDF中，∠PDF=90°，??????∠??????=①当∠DBP=∠ADF时，②当∠DBP=∠F时，
????????
????????
??????????
=
． ∴????=25
725??7
，????=
6
18??7185
． 若△BDP∽△DAF又∠BDP=∠DAF
=
即????
6
??5
????
6??565???5
=
18??7
，解得a=3，此时????=5??=
175
6
．
=
????????
即??=
18??765???5
，解得??=117，此时????=5??=39．
18
70
70
综上所述，若△BDP∽△DAF，线段AD的长为5或39． 【解析】
（1）首先得出∠BDE+∠PDA=90°，进而得出∠B+∠A=90°，利用PD=PA得出∠PDA=∠A进而得出答案； （2）由AD=y得到：BD=BA-AD=5-y．过点E作EH⊥BD垂足为点H，构造Rt△EHB，所以，过解Rt△ABC知：
．易得答案；
．通
（3）需要分类讨论：①当∠DBP=∠ADF时，即；
- 10 -
2019年上海市长宁区中考数学二模试卷(解析版)
