高考数学一轮复习课后限时集训17利用导数证明不等式文北师大
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利用导数证明不等式 建议用时：45分钟
1．已知函数f(x)＝ln x＋ax＋(2a＋1)x. (1)讨论f(x)的单调性；
3
(2)当a＜0时，证明f(x)≤－－2.
4a1x＋1
[解](1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋2ax＋2a＋1＝
2ax＋1
2
xx.
当a≥0，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 1???1?当a＜0，则当x∈?0，－?时，f′(x)＞0；当x∈?－，＋∞?时，f′(x)＜0. 2a???2a?1???1?故f(x)在?0，－?上单调递增，在?－，＋∞?上单调递减．
2a???2a?
1?1??1?(2)证明：由(1)知，当a＜0时，f(x)在x＝－取得最大值，最大值为f?－?＝ln?－?
2a?2a??2a?1
－1－.
4a313?1??1?1
所以f(x)≤－－2等价于ln?－?－1－≤－－2，即ln?－?＋＋1≤0.设g(x)
4a4a4a?2a??2a?2a1
＝ln x－x＋1，则g′(x)＝－1.当x∈(0,1)时，g′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)
x＜0.所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．故当x＝1时，g(x)取得最大值，
?1?1
最大值为g(1)＝0.所以当x＞0时，g(x)≤0.从而当a＜0时，ln?－?＋＋1≤0，即f(x)≤
?2a?2a3
－－2. 4a1
2．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝－x＋aln x.
x(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，证明：
fx1－fx2
＜a－2.
x1－x2
1
ax2－ax＋1
[解](1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－2－1＋＝－. xxx2
(ⅰ)若a≤2，则f′(x)≤0，当且仅当a＝2，x＝1时f′(x)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)单调递减．
(ⅱ)若a＞2，令f′(x)＝0得，x＝
a－a2－4
2
或x＝
a＋a2－4
2
.
?a－a2－4??a＋a2－4?当x∈?0，?∪?，＋∞?时，f′(x)＜0；
22?????a－a2－4a＋a2－4?
当x∈?，?时，f′(x)＞0.
22??
所以
?a－a2－4??a＋a2－4?f(x)在?0，?，?，＋∞?上单调递减，在
22????
?a－a2－4a＋a2－4?
?，?上单调递增．
22??
(2)证明：由(1)知，f(x)存在两个极值点时，当且仅当a＞2.
由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x－ax＋1＝0，所以x1x2＝1，不妨设x1＜x2，则x2＞1.
由于
2
fx1－fx2
x1－x2
＝－
1
x1x2
－1＋aln x1－ln x2ln x1－ln x2
＝－2＋a＝－2＋
x1－x2x1－x2
a－2ln x2
， 1－x2
x2
所以
fx1－fx21
＜a－2等价于－x2＋2ln x2＜0.
x1－x2x2
x1
设函数g(x)＝－x＋2ln x，由(1)知，g(x)在(0，＋∞)上单调递减，又g(1)＝0，从而当x∈(1，＋∞)时，g(x)＜0.
1f所以－x2＋2ln x2＜0，即
x2
x1－fx2
＜a－2.
x1－x2
3．已知函数f(x)＝e，g(x)＝ln(x＋a)＋b.
(1)当b＝0时，f(x)－g(x)＞0恒成立，求整数a的最大值；
(2)求证：ln 2＋(ln 3－ln 2)＋(ln 4－ln 3)＋…＋[ln(n＋1)－ln n]＜
xxx2
3
xne*
(n∈N)． e－1
[解](1)现证明e≥x＋1，设F(x)＝e－x－1，则F′(x)＝e－1，当x∈(0，＋∞)时，
F′(x)＞0，当x∈(－∞，0)时，F′(x)＜0，所以F(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，
0)上单调递减，所以F(x)min＝F(0)＝0，即F(x)≥0恒成立，
即e≥x＋1.
同理可得ln(x＋2)≤x＋1，即e＞ln(x＋2)， 当a≤2时，ln(x＋a)≤ln(x＋2)＜e， 所以当a≤2时，f(x)－g(x)＞0恒成立．
当a≥3时，e＜ln a，即e－ln(x＋a)＞0不恒成立．
0
xxxx
故整数a的最大值为2.
－n＋1x(2)证明：由(1)知e＞ln(x＋2)，令x＝，
n－n＋1则e
n＞ln?
?－n＋1＋2?，
?
?n?
nn－n＋1
即e
0
??－n＋1＋2??＝[ln(n＋1)－ln n]n，
＞?ln?????
－1
??
所以e＋e＋e ＋…＋e－ln n]，
n－2－n＋1
＞ln 2＋(ln 3－ln 2)＋(ln 4－ln 3)＋…＋[ln(n＋1)
23
1
1－ne1e0－1－2－n＋1
又因为e＋e＋e＋…＋e＝＜＝，
11e－11－1－
ee
所以ln 2＋(ln 3－ln 2)＋(ln 4－ln 3)＋…＋[ln(n＋1)－ln n]＜
2
3
ne
. e－1
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