(新课标)2024年高考数学二轮复习 专题能力训练3 平面向量与复数 理

专题能力训练3 平面向量与复数

一、能力突破训练

1.设有下面四个命题

p1:若复数z满足∈R,则z∈R; p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R; p3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=; p4:若复数z∈R,则∈R.

其中的真命题为( ) A.p1,p3 B.p1,p4 C.p2,p3

D.p2,p4

2.设a,b是两个非零向量,则下列结论一定成立的为( ) A.若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥b B.若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|

C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得b=λa D.若存在实数λ,使得b=λa,则|a+b|=|a|-|b| 3.(2024全国Ⅲ,理2)(1+i)(2-i)=( ) A.-3-i B.-3+i

C.3-i

D.3+i

4.在复平面内,若复数z的对应点与的对应点关于虚轴对称,则z=( A.2-i B.-2-i C.2+i

D.-2+i

5.已知向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=( ) A.-1 B.0

C.1

D.2

6.(2024浙江,4)复数(i为虚数单位)的共轭复数是 ( ) A.1+i B.1-i

) 1

C.-1+i D.-1-i

7.已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则A.-a C.a

22

= ( )

B.-a D.a

2

2

8.已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos=.若n⊥(tm+n),则实数t的值为( ) A.4 C.

B.-4 D.-

9.如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O,记

I1=,I2=,I3=,则( )

A.I1

B.I1

10.(2024全国Ⅲ,理13)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ= .

11.在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若为 .

=2=λ(λ∈R),且=-4,则λ的值

12.设a∈R,若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a= . 13.已知a,b∈R,(a+bi)=3+4i(i是虚数单位),则a+b= ,ab= . 14.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,|AD|=|AB|,|BE|=|BC|.若实数),则λ1+λ2的值为 .

二、思维提升训练

15.在△ABC中,已知D是AB边上一点,A.-

B.-

C.

2

2

2

=λ1+λ2(λ1,λ2为

+λ,则实数λ=( ) D.

2

16.已知,||=,|的最大值等于( ) A.13

B.15

|=t.若点P是△ABC所在平面内的一点,且,则

C.19 D.21

17.已知两点M(-3,0),N(3,0),点P为坐标平面内一动点,且||·||+=0,则动点P(x,y)

到点M(-3,0)的距离d的最小值为( ) A.2 B.3

C.4

D.6

18.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是 ,最大值是 .

19.在任意四边形ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点,若=λ+μ,则λ+μ= .

20.已知a∈R,i为虚数单位,若

为实数,则a的值为 .

3

专题能力训练3 平面向量与复数

一、能力突破训练

1.B 解析 p1:设z=a+bi(a,b∈R),则

R,所以b=0,所以z∈R.故p1正确;

p2:因为i2=-1∈R,而z=i?R,故p2不正确;

p3:若z1=1,z2=2,则z1z2=2,满足z1z2∈R,而它们实部不相等,不是共轭复数,故p3不正确; p4:实数的虚部为0,它的共轭复数是它本身,也属于实数,故p4正确.

2.C 解析 设向量a与b的夹角为θ.对于A,可得cos θ=-1,因此a⊥b不成立;对于B,满足a⊥b时|a+b|=|a|-|b|不成立;对于C,可得cos θ=-1,因此成立,而D显然不一定成立. 3.D 解析 (1+i)(2-i)=2+i-i=3+i. 4.D 解析 z=-2+i.

2

=2+i所对应的点为(2,1),它关于虚轴对称的点为(-2,1),故

5.C 解析 ∵2a+b=(1,0),又a=(1,-1),

∴(2a+b)·a=1+0=1.

6.B 解析

=1+i,

的共轭复数为1-i.

∴复数

7.D 解析 如图,设

2

2

2

=a,=b.则=()

=(a+b)·a=a2+a·b=a2+a·a·cos

60°=a+a=a.

8.B 解析 由4|m|=3|n|,可设|m|=3k,|n|=4k(k>0),

又n⊥(tm+n),所以

n·(tm+n)=n·tm+n·n=t|m|·|n|cos+|n|=t×3k×4k故选B.

2

+(4k)2=4tk2+16k2=0.所以t=-4,

9.C 解析 由题图可得OA90°,∠BOC<90°,

4

所以I2=>0,I1=<0,I3=<0,且|I1|<|I3|,

所以I3

10 解析 2a+b=2(1,2)+(2,-2)=(4,2),c=(1,λ),

由c∥(2a+b),得4λ-2=0,得λ=

11

解析

=2,

)=

又

=,∠A=60°,AB=3,AC=2,

=-4,

=3×2

=3,

(

)=-4,

即

=-4,

4-9+3=-4,即-5=-4,解得λ=

12.-1 解析 ∵(1+i)(a+i)=a-1+(a+1)i∈R,∴a+1=0,即a=-1. 13.5 2 解析 由题意可得a2

-b2

+2abi=3+4i,

则

解得则a2+b2

=5,ab=2.

14 解析 由题意)=-,故λ1=-,λ2=,即λ1+λ2=

二、思维提升训练

15.D 解析 如图,D是AB边上一点,

过点D作DE∥BC,交AC于点E,过点D作DF∥AC,交BC于点F,则

因为+,

所以

= 由△ADE∽△ABC,得,

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