抛物线的简单几何性质
【基础知识导引】
1．用类比的方法研究抛物线有哪些简单几何性质？ 2．根据抛物线的定义，探求抛物线的焦点弦有哪些性质？
3．试给出圆锥曲线的统一定义，并说明它何时表示椭圆、双曲线、抛物线？
4．如何研究与抛物线有关的最值问题？
【重点难点解析】 1．抛物线的简单几何性质
抛物线的范围，对称性、顶点、离心率统称为其简单几何性质，对于抛物线的四种不同形式的标准方程，它们有相同的顶点和离心率，而其范围和对称性，则与标准方程的形
式有关，注意结合图形来得出。
2．由抛物线的定义可知，若直线1过抛物线y?2px(p?0)的焦点F且交抛物线于
2A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则焦半径|AF|?x1?|AB|?x1?x2?p，
pp，|BF|?x2?，弦长22 抛物线的焦点弦有很多重要性质，后面结合有关例题作详细研究。
3．圆锥曲线的统一定义
由椭圆、双曲线的第二定义及抛物线的定义可知，平面上动点M到定点F及到定直线1的距离之比等于常数e的点M的轨迹是圆锥曲线（这里点F不在直线1上，e>0，其中F
是圆锥曲线的一个焦点，1是与F对应的准线，而e即为其离心率。）
当0
4．最值问题
设p(x0，y0)是抛物线y?2px(p?0)上的动点，则点P到某定点或某定直线的距离的最大（小）值问题，可利用两点间的距离公式或点到直线的距离公式建立距离d关于x0或y0的函数，再求最值，而抛物线的范围则决定了函数的定义域。
【难题巧解点拨】
例1 已知点P是抛物线y?x上的一点，F为抛物线的焦点，定点A?，?，则当
2?31??42?|PA|+|PF|取最小值时，点P的坐标是____________________。
2 分析 本题主要考查抛物线的定义及其性质，可将|PF|转化为P点到其准线的距离|PH|，
然后利用几何知识解。
解 设抛物线的准线为1作PH⊥1于H，则|PA|+|PF|=|PA|+|PH|，当且仅当A、P、H三
点共线且PH⊥1时取最小值，
∴点P是过点A向准线1所作垂线与抛物线的交点，令y?标是?，?。
点评 （1）抛物线的定义同时也给出了抛物线的一个重要性质，即其上任一点的焦半径等于它到准线的距离；（2）本题采用了数形结合的思想方法来处理的，在椭圆与双曲线中也有类似的问题；（3）若将题中点A改为B?,1?，结果又会怎样呢？不难发现，这时点B在抛物线的外部，所以，使|PB|+|PF|最小的点就是直线段BF与抛物线的交点，易求
11
得x?，∴点P的坐24
?11??42??3?4???1?F?，0?。 4?? ∴kBF?3?51?5?1??2?， ?2，BF:y?2?x??与y?x，联立可解得P?，?4?4???8?
由此处可见，解这类题时首先应判明定点A与抛物线的相对位置。
例2 抛物线y?8x上有一内接△AOB（O为坐标原点），其垂心恰为抛物线的焦点，
求△AOB外接圆的方程。
分析 本题主要考查抛物线的方程与性质，圆的方程等，先根据条件求出顶点A、B，
再求其外接圆的方程。
解 如图，由OF⊥AB知，AB⊥x轴，设A(x1，y1)，则由抛物线的对称性可知，
2B(x1，?y1)，而F（2，0），由AF⊥BO，
得
?y1??1，
px1x1?2?21y1?x1?10, 即y?x1(x1?2)，又y?8x1，解得?
?y1?45,2145)，由对称性可知，所求圆的圆心必在x轴上且过原点，可设其方程为 即A(10，(x?a)2?y2?a2，将点A代入得a=9，
∴△AOB的外接圆方程是(x?9)?y?81。
点评 此题充分运用了抛物线的对称性，由对称性设A、B的坐标，仍由对称性来设圆
的方程。
例3 已知一条圆锥曲线的一个焦点是F（1，0），对应准线是1：x=－1，且曲线过点
22M(3，23)，求圆锥曲线的方程。
分析 本题主要考查圆锥曲线的统一定义，必须先由点M到F和到1的距离的比（即
圆锥曲线的离心率）来确定曲线类型。
解 ∵|MF|?(3?1)2?(23?0)2?4，M到1的距离d=|3―（―）|=4，
∴|MF|=4即圆锥曲线是抛物线，其顶点在原点，焦点F（1，0），
∴由
P?4得p=2，即其方程是y2?4x。 2 点评 理解圆锥曲线的统一定义是解本题的关键。
例4 正方形ABCD的两个顶点A、B在抛物线y?x上，另两个顶点C、D在直线
y=x－4上，求正方形的边长。
分析 本题主要考查直线与直线，直线与抛物线的位置关系，由正方形的性质，设出直线AB的方程，求出弦长|AB|，再根据|AB|等于两平行直线间的距离确定出待定量。 解 ∵AB//CD，∴可设直线AB：y=x+b，代入y?x得x2?x?b?0， 由△=1+4b>0得b??221，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由x1?x2?1， 4 x1x2??b得|x1?x2|? ∴|AB|?(x1?x2)2?4x1x2?1?4b，
|b?4|2，
2?1?4b，又AB、CD间的距离d? 由|AB|?d?2?1?4b?|b?4|?b2?8b?12?0， 21，∴d?32或52， 4 ∴b=2或b=6均满足b?? 即所求正方形的边长为32或52，
点评 （1）在抛物线中求直线被其所截得的弦长，其方法同椭圆和双曲线类似；（2）上题用到两条平行直线间的距离公式，即若l1:Ax?By?C1?0，l2:Ax?By?C2?0，
则d?|C1?C2|A?B
22。
【拓展延伸探究】
例1 过抛物线y?2px(p?0)的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，求证：以
AB为直径的圆必与抛物线的准线相切。
分析 本题考查抛物线的性质、直线与圆的关系，可根据抛物线的定义、直线与圆相
切的条件，从几何的角度进行证明。
证明 设M为AB的中点，即圆心，过A、B、M分别作准线1的垂线，垂足分别为D、
C、N，则由梯形中位线的性质及抛物线的定义，有
2|MN|?1?|AD|?|BC|??1?|AF|?|BF|??1|AB|，即圆心M到准线1的距离等于222以AB为直径的圆的半径，以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。
点评 抛物线的焦点弦有很多重要性质，例如： 结论1：图中∠ANB=90°（由例5结论可直接得到）。
结论2：图中∠DFC=90°。
事实上，∵|AF|=|AD|，∴∠1=∠5=∠2同理∠3=∠4， 且∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴∠2+∠3=90°即∠DFC=90°，
结论3：
112??。 |AF||BF|pp，
1?cos? 证明如下：设直线AB的倾斜角为α（不妨设0°<α≤90°），则 |AF|?|AD|?p?|FH|?p?|AF|cos?，∴|AF|? 同理得|BF|?111?cos?1?cos?2p????。 ，∴
|AF||BF|ppp1?cos?p，
1?cos? 结论4：设直线AB的倾斜角为α，由结论3中的结论：|AF|? |BF|?ppp2p，得|AB|?。 ??1?cos?1?cos?1?cos?sin2? 结论5：图中A、O、C三点共线，此题即2001年高考第20题，证明在下一节中给出，
有兴趣的同学也可利用代数方法给出以上结论的证明。
0?，点B在抛物线上，求A、B两点间的距离 例2 已知抛物线y?2x及定点A?，d的最小值。
分析 本题考查抛物线方程与性质及函数最值问题，首先建立距离d的目标函数，再
求最值。
解 设B（x，y）则y?2x，
22?2?3??2?2?1?1???2 ∴d?|AB|??x???y??x???2x??x???，x?[0，??)
3?3?3?3???2221?? ∵函数f(x)??x??在[0，??)上是增函数。
3??
2
抛物线的简单几何性质1.
