探秘基本初等函数的命题热点动向
微点聚焦突破
以二次函数、幂函数、指数与对数函数为载体考查函数图象与性质，灵活利用图象、性质解决与方程(不等式)的交汇融合问题，相关参数求解与讨论一直是命题的热点，常以客观题的形式呈现，考查学生数学运算、直观想象、逻辑推理数学核心素养.
类型一 基本初等函数图象的辨析
角度1 特殊值与性质检验法
?1?x
【例1－1】 (1)函数f(x)＝x－?2?的大致图象是( )
??
2
(2)(2019·福州质检)函数f(x)＝x2＋ln(e－x)ln(e＋x)的大致图象为( )
解析 (1)由f(0)＝－1，知图象过点(0，－1)，排除D项. 又f(－2)＝4－4＝0，f(－4)＝16－16＝0，
∴f(x)的图象过点(－2，0)，(－4，0)，排除A，C，只有B适合. (2)易知f(－x)＝(－x)2＋ln(e＋x)ln(e－x)＝x2＋ln(e－x)ln(e＋x)＝f(x)， ∴y＝f(x)的图象关于y轴对称，排除C项. 又当x→e时，f(x)→－∞，排除选项B，D. 答案 (1)B (2)A
1
思维升华 1.求解该类问题抓住两点：(1)根据函数的奇偶性、周期性、单调性排除不符合的选项.(2)利用特殊值(点)或极限的思想，排除不可能选项.
2.注意两点：(1)特殊点或特殊值要具备特殊性和代表性，只能否定错误的结论.(2)紧扣图象特征，揭示函数的性质.
x（e－x－ex）
【训练1】 (2020·东北四校联考)函数f(x)＝的图象大致是( )
4x2－1
－x（ex－e－x）x（e－x－ex）
解析 因为f(－x)＝＝＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，
4（－x）2－14x2－11??11??
其图象关于y轴对称，可排除A.易知函数f(x)的定义域为?－∞，－2?∪?－2，2?
????x（e－x－ex）xe－x（1－e2x）1?1?
∪?2，＋∞?，f(x)＝＝，当x＝
4时，f(x)>0，可排除C. ??4x2－14x2－1当x→＋∞时，f(x)→－∞，可排除D. 答案 B
角度2 函数的图象变换法
【例1－2】 已知定义域为R的函数f(x)满足f(x)＝－f(x－1)，则函数f(x)在(－1，1]上的图象可能是( )
解析 由f(x)＝－f(x－1)知，把f(x)在(－1，0)上的图象向右平移一个单位长度，再把所得的图象关于x轴作对称变换，可以得到y＝f(x)在(0，1)上的图象.结合图
2
象特征，A，B，D不满足，只有C符合. 答案 C
思维升华 1.通过图象变换识别函数图象要掌握两点：一是熟悉基本初等函数的图象(如指数函数、对数函数等函数的图象)；二是了解一些常见的变换形式，如平移变换、伸缩变换、翻折变换.
2.函数图象进行左右平移变换，一定是仅仅相对于“自变量x”而言的，一定把x的系数变为1.
【训练2】 (2020·武汉部分重点中学联考)已知函数y＝sin ax＋b(a>0)的图象，如图所示，则函数y＝loga(x＋b)的图象可能是( )
解析 由y＝sin ax＋b的图象知，周期T>2π，0 所以T＝a>2π，∴0 ∴y＝loga(x＋b)在(－b，＋∞)上是减函数，排除B，D. 把y＝logax的图象向左平移b个单位长度， 得y＝loga(x＋b)的图象，排除C项，只有A符合. 答案 A 类型二 基本初等函数的性质应用 角度1 比较数值的大小 【例2－1】 (2020·青岛二中检测)设x，y，z为正实数，且log2x＝log3y＝log5z>0， 3 则下列关系式不可能成立的是( ) xyzA.2<3<5 yzxC.3<5<2 zyxB.5<3<2 xyzD.2＝3＝5 解析 令log2x＝log3y＝log5z＝k>0， 则x＝2k>1，y＝3k>1，z＝5k>1， xyz 故2＝2k－1，3＝3k－1，5＝5k－1，若0 则5<3<2，B项成立. xyz 若k＝1时，2＝3＝5＝1，D项成立. xyz 若k>1时，则f(x)＝xk－1在(0，＋∞)上单调递增，∴2<3<5，选项A成立. 综上，选项A，B，D都有可能成立，只有C不成立. 答案 C 思维升华 1.本题考查对数定义，幂函数、指数函数的单调性及应用，着重考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养. 2.运用基本初等函数性质求解问题，要注意不同参数取值对性质的影响，必要时要进行分类讨论. 111 【训练3】 若函数f(x)＝x2，设a＝log54，b＝log53，c＝25，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系是( ) A.f(a)>f(b)>f(c) C.f(c)>f(b)>f(a) 解析 由b＝log B.f(b)>f(c)>f(a) D.f(c)>f(a)>f(b) 11 ＝log53，且y＝log5x是增函数，∴1>a>b>0， 53 1 又c＝25>1，且f(x)＝x2在(0，＋∞)上是增函数，∴f(c)>f(a)>f(b). 答案 D 角度2 利用性质求函数值或范围 【例2－2】 (1)(2020·安徽名校联考)已知函数y＝g(x)满足g(x＋2)＝－g(x)，若y 4 ?log2x，0 ＝f(x)在(－2，0)∪(0，2)上为偶函数，且其解析式为f(x)＝?则 g（x），－2 B.0 1 C.2 1D.－2 (2)(2020·石家庄调研)已知函数f(x)＝2x＋log3数m的取值范围是( ) A.(1，＋∞) 1?? C.?0，2? ?? B.(－∞，1) ?1? D.?2，1? ?? 2＋x?1?，若不等式f?m?>3成立，则实 ??2－x 解析 (1)由g(x＋2)＝－g(x)，得g(x＋4)＝g(x)， ∴4是函数g(x)的周期. 则g(－2 021)＝g(－505×4－1)＝g(－1). 又f(x)在(－2，0)∪(0，2)上是偶函数， ∴g(－1)＝f(－1)＝f(1)＝log21＝0. 2＋x (2)由>0，得f(x)的定义域为(－2，2). 2－x 4?2＋x? －1－∵y＝log3＝log3?在(－2，2)上单调递增， x－2?2－x??∴f(x)在(－2，2)上是增函数. ?1??1?又f(1)＝3，f?m?>3?f?m?>f(1). ????1 －2 1??1 思维升华 破解此类题的关键：一是活用函数的性质，如周期性、奇偶性；二是利用转化思想，把原不等式转化为关于自变量的不等式组，解不等式组，即可得自变量的取值范围.若能灵活应用特值法，则可加快解题的速度. ?0，x≤0，【训练4】 设函数f(x)＝?x则满足不等式f(x2－2)>f(x)的x的取值范－x ?2－2，x>0， 5
创新引领·微课 探秘基本初等函数的命题热点动向 (4)
