?0??0 (16) 设矩阵A??0??0?100??010?, 则A3的秩为1.
001??000???0??03【详解】 依矩阵乘法直接计算得 A??0??0?三、解答题：(17－24小题，共86分. )
(17)（本题满分10分）
设f(x)是区间[0, 其中f?1001??000?, 故r(A3)=1. ?000?000???4]上的单调、可导函数，且满足 f(t)dt??t0?1x?f(x)0cost?sintdt，
sint?cost是f的反函数，求f(x).
【分析】 等式两端先对x求导，再积分即可。
cost?sintdt两端先对x求导，得 ?00sint?costcosx?sinx?1 f[f(x)]f?(x)?x，
sinx?cosxcosx?sixncosx?sixn即 xf?(x)?x， 也即 f?(x)?.
sinx?cosxsinx?cosxcosx?sixnd(xs?inxcos)于是 f(x)?? dx??sinx?cosxsinx?cosx【详解】 在等式
f(x)f(t)dt??t?1x=ln(sinx?cosx)?c.
由题设知, f(0)=0, 于是c = 0，故f(x)?ln(sinx?cosx). (18)（本题满分11分）
设D是位于曲线y?xa?x2a(a?1,0?x???)下方、x轴上方的无界区域。
(I) 求区域D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V(a); (II) 当a为何值时，V(a)最小? 并求此最小值.
【分析】 V(a)的值可通过广义积分进行计算，再按通常方法求V(a) 的最小值即可。 【详解】 (I) V(a)?????0ydx?????02??0x???a??xdaa xadx=?lna0?xax?aa?[xa =?lna????0a2?. adx]?(lna)2?xa
2007年考研数学数学二真题及答案解析
