2007年硕士研究生入学考试数学二试题及答案解析
一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
?(1) 当x?0时，与x等价的无穷小量是
(A) 1?ex. (B) ln1?x. (C) 1?x?1. (D) 1?cosx. [ B ]
1?x【分析】 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案. 【详解】 当x?0时，有1?e?x??(ex?1)~?x；1?x?1~1x； 21?cosx~1x11(x)2?x. 利用排除法知应选(B). 22在[??,?]上的第一类间断点是x =
(2) 函数f(x)?(e?e)tanxx(e?e)1x(A) 0. (B) 1. (C) ???. (D) . [ A ] 22【分析】 本题f(x)为初等函数，找出其无定义点即为间断点，再根据左右极限判断其
类型。
【详解】 f(x)在[??,?]上的无定义点，即间断点为x =0,1,??2.
又 lim?x?0(e?e)tanxx(e?e)1x1x?lim?x?0tanxe?e?1?1?(?1)??1， xex?etanxe?e?1?1?1?1， xex?e1x1xx?0lim?(e?e)tanxx(e?e)1x1x?lim?x?0可见x=0为第一类间断点，因此应选(A).
(3) 如图，连续函数y=f(x)在区间[?3，?2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[?2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x)?则下列结论正确的是
?x0f(t)dt.35F(?2). (B) F(3)?F(2). 4435(C) F(?3)?F(2). (D) F(?3)??F(?2). [ C ]
44(A) F(3)??【分析】 本题考查定积分的几何意义，应注意f(x)在不同区间段上的符号，从而搞清
楚相应积分与面积的关系。
【详解】 根据定积分的几何意义，知F(2)为半径是1的半圆面积：F(2)?F(3)是两个半圆面积之差：F(3)?1?， 23113[??12???()2]??=F(2)，
422803?30F(?3)???30f(x)dx???f(x)dx??f(x)dx?F(3)
因此应选(C).
(4) 设函数f(x)在x=0处连续，下列命题错误的是
f(x)f(x)?f(?x)存在，则f(0)=0. (B) 若lim存在，则f(0)=0.
x?0x?0xxf(x)f(x)?f(?x) (C) 若lim存在，则f?(0)存在. (D) 若lim存在，则f?(0)存在
x?0x?0xx(A) 若lim[ D ]
【分析】 本题为极限的逆问题，已知某极限存在的情况下，需要利用极限的四则运算
等进行分析讨论。
【详解】 (A),(B)两项中分母的极限为0，因此分子的极限也必须为0，均可推导出f(0)=0. 若limx?0f(x)f(x)?f(0)f(x)存在，则f(0)?0,f?(0)?lim?lim?0，可见(C)也正确，
x?0x?0xx?0x故应选(D). 事实上，可举反例：f(x)?x在x=0处连续，且
limx?0x??xf(x)?f(?x)?0存在，但f(x)?x在x=0处不可导. =limx?0xx (5) 曲线y?1?ln(1?ex)，渐近线的条数为 x(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. [ D ]
【分析】 先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。 【详解】 因为lim[?ln(1?e)]??，所以x?0为垂直渐近线；
x?01xx又 lim[?ln(1?e)]?0，所以y=0为水平渐近线；
x???1xxy1ln(1?ex)ln(1?ex)ex]?lim?1， 进一步，lim?lim[2?=limxx???xx???xx???x???xx1?e lim[y?1?x]?lim[?ln(1?e)?x]=lim[ln(1?e)?x]
x???x???1xxxx????x =lim[lne(1?e)?x]?limln(1?e)?0，
x???x???x?x于是有斜渐近线：y = x. 故应选(D).
(6) 设函数f (x)在(0,??)上具有二阶导数，且f??(x)?0. 令un?f(n)(n?1,2,?,), 则下列结论正确的是
(A) 若u1?u2，则{un}必收敛. (B) 若u1?u2，则{un}必发散.
(C) 若u1?u2，则{un}必收敛. (D) 若u1?u2，则{un}必发散. [ D ]
【分析】 利用反例通过排除法进行讨论。
2【详解】 设f(x)=x, 则f (x)在(0,??)上具有二阶导数，且f??(x)?0,u1?u2，但
{un}?{n2}发散，排除(C); 设f(x)=
1, 则f(x)在(0,??)上具有二阶导数，且x1f??(x)?0,u1?u2，但{un}?{}收敛，排除(B); 又若设f(x)??lnx，则f(x)在(0,??)上
n具有二阶导数，且f??(x)?0,u1?u2，但{un}?{?lnn}发散，排除(A). 故应选(D).
(7) 二元函数f(x, y)在点(0，0) 处可微的一个充分条件是 (A)
(x,y)?(0,0)lim[f(x,y)?f(0,0)]?0.
f(0,y)?f(0,0)f(x,0)?f(0,0)?0. ?0，且limy?0yx (B) limx?0(C)
(x,y)?(0,0)limf(x,y)?f(0,0)x?y22?0.
(D) lim[fx?(x,0)?fx?(0,0)]?0，且lim[fy?(0,y)?fy?(0,0)]?0. [ C ]
x?0y?0【详解】 选项(A)相当于已知f(x, y)在点(0,0)处连续，选项(B)相当于已知两个一阶偏导数fx?(0,0),fy?(0,0)存在，因此(A),(B)均不能保证f(x, y)在点(0，0)处可微。
选项(D)相当于已知两个一阶偏导数fx?(0,0),fy?(0,0)存在，但不能推导出两个一阶偏导函数fx?(x,y),fy?(x,y)在点(0,0)处连续，因此也不能保证f(x, y)在点(0，0) 处可微。
若
(x,y)?(0,0)limf(x,y)?f(0,0)x?y22?0，则
f(x,0)?f(0,0)f(x,0)?f(0,0)x2lim?lim??0，即fx?(0,0)?0,同理有
22x?0x?0xxx?0fy?(0,0)?0.
[f(?x?,y?)f从而 lim??0?(0,?0)fx]?(?(x0?,f0y)?y(0,0)
)??lim = lim??0f(?x,?y)?f(0,0)f(?x,?y)?f(0,0)(?x)?(?y)22?(?x,?y)?0=0
根据可微的定义，知函数f(x, y) 在(0，0) 处可微，故应选(C).
(8) 设函数f(x, y)连续，则二次积分(A) (C)
???2dx?1sinxf(x,y)dy等于
???101dy????arcsiny??arcsinyf(x,y)dx. (B) f(x,y)dx. (D)
??010dy???arcsinyf(x,y)dx.
f(x,y)dx. [ B ]
0dy??12dy????arcsiny2【分析】 先确定积分区域，画出示意图，再交换积分次序。 【详解】 积分区域 D:
?2?x??,sinx?y?1, 也可表示为
D: 0?y?1,??arcsiny?x??, 故
???2dx?1sinxf(x,y)dy=?dy?01???arcsinyf(x,y)dx，应选(B).
(9) 设向量组?1,?2,?3线性无关，则下列向量组线性相关的是 (A) ?1??2,?2??3,?3??1. (B) ?1??2,?2??3,?3??1.
(C) ?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1. (D) ?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1. [ A ]
【详解】 用定义进行判定:令
x1(?1??2)?x2(?2??3)?x3(?3??1)?0，
得 (x1?x3)?1?(?x1?x2)?2?(?x2?x3)?3?0.
?x3?0,?x1 ??0, 因?1,?2,?3线性无关，所以 ??x1?x2 ? ?x2?x3?0.?1又 ?101?1?10?0， 10故上述齐次线性方程组有非零解, 即?1??2,?2??3,?3??1线性相关. 类似可得(B), (C), (D)中的向量组都是线性无关的.
?2?1?1??100?????(10) 设矩阵A???12?1?, B??010?,则A与B
??1?12??000?????(A) 合同, 且相似. (B) 合同, 但不相似 .
(C) 不合同, 但相似. (D) 既不合同, 又不相似. [ B ] 二、填空题 (11－16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.)
(11) limarctanx?sinx1=?. 3x?0x61?cosx22arctanx?sinx111?(1?x)cosx1?x【详解】 lim= lim?lim??3222x?0x?0x?0x3x31?xx1?2xcosx?(1?x2)sinx111??(?1?)??. =lim3x?02x326?x?cost?cos2t,? (12) 曲线?上对应于t?的点处的法线斜率为1?2.
4?y?1?sint【详解】 因为
dyyt?costdy??，于是dxxt??sint?2costsintdxt??4??1，故法线斜率
1?2为 1?2.
(13) 设函数y?112,则y(n)(0)=(?1)nn!()n. 2x?333?1?2x?【详解】 y?(2x?3), y???1?2(2 一般地，y从而 y(n)?,????1?(23)?y2)?x2(?2 33)?(?1)nn!?2n(2x?3)?n?1，
(n)12(0)=(?1)nn!()n.
332x (14) 二阶常系数非齐次线性微分方程y???4y??3y?2e的通解为
y?C1ex?C2e3x?2e2x. 其中C1,C2为任意常数.
【详解】 特征方程为
?2?4??3?0，解得?1?1,?2?3. 可见对应齐次线性微分方
x3x程y???4y??3y?0的通解为 y?C1e?C2e.
设非齐次线性微分方程y???4y??3y?2ex3x2xk= ?2. 故通解为y?C1e?C2e?2e.
2x的特解为y?ke，代入非齐次方程可得
*2x (15) 设f(u,v)是二元可微函数，z?f(,),则xyxxy?z?z2y2x?y? =?f1??f2?. ?x?yxy【详解】
?zy1?z1x?f1??(?2)?f2??，?f1???f2??(?2)，于是有 ?xxy?yxy?z?zy11x2y2x?y?x[?2f1??f2?]?y[f1??2f2?]=?f1??f2?. ?x?yxyxyxy x?0??0 (16) 设矩阵A??0??0?100??010?, 则A3的秩为1.
001??000???0??03【详解】 依矩阵乘法直接计算得 A??0??0?三、解答题：(17－24小题，共86分. )
(17)（本题满分10分）
设f(x)是区间[0, 其中f?1001??000?, 故r(A3)=1. ?000?000???4]上的单调、可导函数，且满足 f(t)dt??t0?1x?f(x)0cost?sintdt，
sint?cost是f的反函数，求f(x).
【分析】 等式两端先对x求导，再积分即可。
cost?sintdt两端先对x求导，得 ?00sint?costcosx?sinx?1 f[f(x)]f?(x)?x，
sinx?cosxcosx?sixncosx?sixn即 xf?(x)?x， 也即 f?(x)?.
sinx?cosxsinx?cosxcosx?sixnd(xs?inxcos)于是 f(x)?? dx??sinx?cosxsinx?cosx【详解】 在等式
f(x)f(t)dt??t?1x=ln(sinx?cosx)?c.
由题设知, f(0)=0, 于是c = 0，故f(x)?ln(sinx?cosx). (18)（本题满分11分）
设D是位于曲线y?xa?x2a(a?1,0?x???)下方、x轴上方的无界区域。
(I) 求区域D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V(a); (II) 当a为何值时，V(a)最小? 并求此最小值.
【分析】 V(a)的值可通过广义积分进行计算，再按通常方法求V(a) 的最小值即可。 【详解】 (I) V(a)?????0ydx?????02??0x???a??xdaa xadx=?lna0?xax?aa?[xa =?lna????0a2?. adx]?(lna)2?xa
2007年考研数学数学二真题及答案解析
