第3讲 函数的奇偶性
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2013·渭南模拟)下列函数中既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递增的函数是( )．
A．y＝x3 C．y＝－x2＋1
B．y＝|x|＋1 D．y＝2x
解析 因为A是奇函数，所以不成立．C在(0，＋∞)上单调递减，不成立，D为非奇非偶函数，不成立，所以选B.
答案 B
2．(2013·咸阳二模)若函数f(x)＝A．0 C．2
sin x
是奇函数，则a的值为( )． ?x＋a?2
B．1 D．4
sin?－1?－sin 1
解析 由f(－1)＝－f(1)，得＝，
?－1＋a?2?1＋a?2∴(－1＋a)2＝(1＋a)2解得a＝0. 答案 A
3．(2014·上饶模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a>0且a≠1)，若g(2)＝a，则f(2)＝( )．
A．2 15C．4
17B．4 D．a2
解析 依题意知f(－x)＋g(－x)＝g(x)－f(x)＝a－x－ax＋2，联立f(x)＋g(x)＝ax115－a－x＋2，解得g(x)＝2，f(x)＝ax－a－x，故a＝2，f(2)＝22－2－2＝4－4＝4.
答案 C
4．(2013·重庆卷)已知函数f(x)＝ax3＋bsin x＋4(a，b∈R)，f(lg(log210))＝5，则f(lg(lg 2))＝( )．
A．－5 C．3
解析 ∵f(x)＝ax3＋bsin x＋4，① ∴f(－x)＝a(－x)3＋bsin(－x)＋4， 即f(－x)＝－ax3－bsin x＋4，② ①＋②得f(x)＋f(－x)＝8，③
?1?
又∵lg(log210)＝lg?lg 2?＝lg(lg 2)－1＝－lg(lg 2)，
??∴f(lg(log210))＝f(－lg(lg 2))＝5， 又由③式知f(－lg(lg 2))＋f(lg(lg 2))＝8， ∴5＋f(lg(lg 2))＝8，∴f(lg(lg 2))＝3. 答案 C
5．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集为( )．
A．(1,3) C．(－1,0)∪(1,3) 解析 f(x)的图像如图．
B．(－1,1) D．(－1,0)∪(0,1) B．－1 D．4
当x∈(－1,0)时，由xf(x)>0，得x∈(－1,0)； 当x∈(0,1)时，由xf(x)>0，得x∈?； 当x∈(1,3)时，由xf(x)>0，得x∈(1,3)． ∴x∈(－1,0)∪(1,3)，故选C. 答案 C 二、填空题
6．(2014·临川二中)f(x)为奇函数，当x＜0时，f(x)＝log2(1－x)，则f(3)＝________.
2
解析 f(3)＝－f(－3)＝－log24＝－2. 答案 －2
7．(2013·青岛二模)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x＋2)＝?5?f(x)对任意x∈R成立，当x∈(－1,0)时f(x)＝2x，则f?2?＝________.
??
?5??1??1?解析 因为f(x＋2)＝f(x)，故f?2?＝f?2?＝－f?－2?＝1.
??????答案 1
8．设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)＜f(m)，则实数m的取值范围是________．
解析 ∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)＝f(|x|)． ∴不等式f(1－m)＜f(m)?f(|1－m|)＜f(|m|)． 又当x∈[0,2]时，f(x)是减函数．
?|1－m|＞|m|，
∴?－2≤1－m≤2，?－2≤m≤2，
1??－1，?答案 2???三、解答题
1
解得－1≤m＜2. 9．f(x)为R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，求f(x)的解析式． 解 当x＜0时， －x＞0，则
f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1. 由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)， 所以当x＜0时，f(x)＝2x2＋3x－1. 因为f(x)为R上的奇函数，故f(0)＝0.
?
综上可得f(x)的解析式为f(x)＝?0，x＝0，
?2x2＋3x－1，x＜0.
当－1≤x≤0时，f(x)＝－x.
(1)判定f(x)的奇偶性；
－2x2＋3x＋1，x＞0，
10．设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)，
3
【创新设计】2021届高考数学(北师大版)一轮训练：第2篇 第3讲 函数的奇偶性
