关于分裂凸可行性问题的粘性迭代算法
杨远志，杨海元，李春，何振华
【摘 要】摘要：研究了分裂凸可行性问题，给出了该问题的一个新的近似解算法，并证明该算法具有强收敛性，所获得的结果改进了前人的工作． 【期刊名称】高师理科学刊 【年(卷),期】2016(036)004 【总页数】6
【关键词】分裂凸可行性问题；近似解；强收敛；粘性迭代方法 1 引言及预备知识
本文中和分别表示实Hilbert空间的内积和范数；和分别表示正整数集和实数集．
设和是2个实Hilbert空间，和是2个闭凸子集，是有界线性算子．1994年Censor和Elfving在文献[1]提出了分裂可行性问题（简记为SFP问题），即 找出一点，使得 （1）
该问题在许多实际问题都有应用，如图像恢复（重建）和信号处理等．当问题（1）解存在时，那么其解满足一个不动点方程，其中：表示度量投影算子；表示的伴随算子；是一常数．
为求解问题（1），Byrne在文献[2]中建立了近似解算法：，其中：和分别表示投影算子；表示的共轭算子；是一个常数，，是的谱半径．Byrne证明了该序列收敛到问题（1）的一个解．
作为问题（1）的推广，文献[3]研究了问题：设是实Hilbert空间，和均是非空闭凸集，：，是有界算子，考虑
找出，，使得 （2）
设是次可微的凸函数，且在有界集中其次微分都是有界的，当和时，文献[3]给出了问题（2）的一个近似解算法：，，其中：，；，；；，算法弱收敛到问题（2）的一个解．
文献[3]的算法仅仅是弱收敛算法，在实际应用中，强收敛算法更为方便，而且，算法中仅仅简单地使用投影方法计算问题的近似解，这有可能使得算法的收敛速度比较慢．针对这些问题，本文建立了粘性迭代算法，证明在适当的条件下，新算法强收敛到问题（2）的一个解．
定义1[4]107 设是域上的线性空间，若对于任意，有一个中的数与之对应（用表示该数），使得对于任意，，有 （1）非负性．，而且等价于． （2）共轭对称性．．
（3）关于第一变元线性性．，．
则称是的一个内积，相应地称为内积空间．特别地，完备的内积空间称为Hilbert空间．
定义2[4]59 （1）设是内积空间，，如果对于任意，，，有，则称是中的线性算子．若还满足（），是与无关的常数，则称是有界线性算子．
（2）设是内积空间，是有界线性算子，算子，如果对于任意，，恒有，则称为的共轭算子，特别地，．
引理1[5]3310 设为实Hilbert空间，则对于任意，有． 引理2[6] 设是非负实数列，满足，．若，，且，则．
引理3（半闭原理）[7] 设为实Hilbert空间，，：是非扩张映射，若弱收敛到，
并且，则．
引理4[5]3318 设为实Hilbert空间，则对于任意，有．
设为Banach空间，若对于任意，当弱收敛到时，恒有（任意），则称满足Opial条件．Hilbert空间都满足Opial条件[8]． 2 主要结果及证明
定理 设是实Hilbert空间，，，是有界线性算子．，是次可微的凸函数，且在非空闭凸集和上的次微分是有界的．令（），则易知是有界线性算子，并设是的伴随算子．对任意的，序列产生的方式为
其中：；是-压缩映射；满足，且，，．假设，则强收敛到． 证明 证明有界．
任取，即．由引理1可知，，即 又
由式（4）和式（5）可知，，即 于是，所以有界． 证明．
因为，因此，即
于是，其中：常数满足，，由引理2可知
因为有界，故有弱收敛子列．设弱收敛到，下证． 由式（3）可知，（）．进而由式（8）可知 由式（9）和式（6）可知，（），即
由式（10）可知，，即，．由引理3可知，，．
关于分裂凸可行性问题的粘性迭代算法1
