第十二章 微分方程
§12-1 微分方程的基本概念
一、判断题
12x(c的任意常数)是y?=2x的特解。 ( ) 2(y??)3是二阶微分方程。 ( ) 3.微分方程的通解包含了所有特解。 ( ) 4.若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。 （ ） 5.微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。 （ ） 二、填空题 1.
微分方程.(76y)0的阶数是 。 2. 函数34 微分方程的解。 3. 积分曲线(12)e2x中满足
0=0,
y?0=1的曲线是 。
三、选择题
1．下列方程中 是常微分方程
?2a?2adarctanx（A）、x (B)、 0 （D）、y??22 (e)?0 (C)、22?x?ydx222
2.下列方程中 是二阶微分方程
（A）（y??）2y2=0 (B) (y?) 2+3x23 (C) y???+3y??0 (D)y?2
?d2y2
3.微分方程0的通解是 其中12均为任意常数 2dx（A） (B) (C)12 (D)
4. C是任意常数，则微分方程y?=3y的一个特解是 （A）(2)3 (B)3+1 (C) ()3 (D)(1)3 四、试求以下述函数为通解的微分方程。
1．y?Cx?C（其中C为任意常数） 2.y?C1e222x23?C2e3x（其中C1,C2为任意常数）
五、质量为m的物体自液面上方高为h处由静止开始自由落下，已知物体在液体中受的阻力与运动的速度成正比。用微分方程表示物体，在液体中运动速度与时间的关系并写出初始条件。
12-2 可分离变量的微分方程
一、求下列微分方程的通解
1． 220
2． (2)(x2)0 3． ()()0
4． y?().(提示令)
二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解
1． (1)0.
0=
? 42.
secxdy?xdx.y21?yx?3?2??1
三 、设f(x)?x0(u)(x)是可微函数，求f(x)
四、求一曲线的方程，曲线通过点（0.1）,且曲线上任一点处的切线垂直于此点与原点的连线。
五、船从初速v0=6米/秒而开始运动，5秒后速度减至一半。已知阻力与速度成正比，试求船速随时间变化的规律。
12-3 齐次方程
一、求下列齐次方程的通解 1 xy?yyy?0 2 ()0 xxx
二 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解 1．
dy22
ax2e 22(2)0
1=1
三、求方程：（1）(1)的通解
四、设有连结点O(0，0)和A（1，1）一段向上凸的曲线孤OA对于OA上任一点 P（x，y）,曲线孤与OP直线段OP所围图形的面积为x2，求曲线孤OA的方程。
?
????
12.4 一阶线性微分方程
一、求下列微分方程的通解
1y? 2y?2x 3y?
二、求下列微分方程满足初始条件的特解 1．y? y
三、已知f(?),曲线积分?a?sinx?f(x)?bdyy1sinx? 4. y?dxx?y3eyxxx?0??4 2.(21)y24 y
?x?0?0
ydx?f(x)dy与路径无关，求函数f(x). x
四、质量为M 0克的雨滴在下落过程中，由于不断蒸发，使雨滴的质量以每秒m克的速率减少，且所受空气阻力和下落速度成正比，若开始下落时雨滴速度为零，试求雨滴下落的速度与时间的关系。
五、 求下列伯努利方程的通解
1．y′+
1y?x2y5 2. ′20 x
高等数学微分方程试题
