【答案】 D
?x－x，x≤0，?
【解析】 根据题意，函数f(x)＝?
??lnx＋1，x>0
2
的图象如图，
直线y＝ax－1恒过定点(0，－1)， 若存在x0∈R使得f(x0)≤ax0－1，
则函数f(x)的图象在直线y＝ax－1下方有图象或与直线有交点， 当a＝0时，f(x)的图象恒在y＝ax－1图象的上方，不符合题意；
当a>0时，直线y＝ax－1经过第一、三、四象限，与函数f(x)的图象必有交点，符合题意； 当a<0时，直线y＝ax－1经过第二、三、四象限，若直线y＝ax－1与f(x)有交点，必然相交于第二象限．
?y＝x－x，?
由???y＝ax－1，
2
2
即ax－1＝x－x，变形可得x－(a＋1)x＋1＝0， 令Δ＝0，解得a＝－3或1(舍)，则有a≤－3， 综上可得，a的取值范围为(－∞，－3]∪(0，＋∞)．
2
专题突破
一、单项选择题
－x＋2x＋31．函数y＝的定义域为( )
lgx＋1A．(－1,3] C．[－1,3] 【答案】 B
B．(－1,0)∪(0,3] D．[－1,0)∪(0,3]
2
－x＋2x＋3≥0，??
【解析】 由已知得?x＋1>0，
??x＋1≠1，解得x∈(－1,0)∪(0,3]．
2
??log21－x，x<0，
2．设函数f(x)＝?2x－1
?2，x≥0，?
则f(－3)＋f(log23)等于( )
111315
A. B. C. D．10 222【答案】 B
log292【解析】 依题意f(－3)＋f(log23)＝log24＋22
2log23?1－1＝2＋2913＝2＋＝.
22
4x
3．设函数f(x)＝|x|，则函数f(x)的图象大致为( )
3
【答案】 A
【解析】 观察函数【解析】式发现，x是以平方、绝对值的形式出现的，所以f(x)为偶函4x4×216
数，排除B；当x>0时，f(x)＝x，当x→＋∞时，f(x)→0，排除C.因为f(2)＝2＝
339<2，选项D中f(2)>2，所以D不符合题意．
?，x≤1，?2
?4．设函数f(x)＝??x＋1，x>1，
|x－a|
2
2
若f(1)是f(x)的最小值，则实数a的取值范围是( )
A．[－1,2) C．[1,2] 【答案】 C
?，x≤1，?2
【解析】 f(x)＝?
?x＋1，x>1，?
|x－a|
B．[－1,0] D．[1，＋∞)
若x>1，则f(x)＝x＋1>2， 易知f(x)＝2
|x－a|
在(a，＋∞)上单调递增，在(－∞，a)上单调递减．
若a<1，则f(x)在x＝a处取得最小值，不符合题意； 若a≥1，则要使f(x)在x＝1处取得最小值，只需2综上所述，a的取值范围是[1,2]．
5．(2024·抚顺模拟)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[－1,0]时，f(x)＝－x－2，则( ) π??A．f ?sin ?>f 6??
a－1
≤2，解得a≤2，∴1≤a≤2，
?cos π?
?6???
B．f(sin 3) 4π??C．f ?sin ? ?cos 4π? D．f(2 020)>f(2 019) ?3??? 【解析】 由f(x＋2)＝f(x)，得f(x)是周期函数且周期为2，根据f(x)在x∈[－1,0]上的图象和f(x)是偶函数可得f(x)在[0,1]上是增函数． ππ 对于A,0 66π??∴f ?sin ? ?cos π?， A错误； ?6??? 对于B,0 ∴f(sin 3) 对于C,0<－cos <－sin <1， 33 4π??∴f ?cos ? ??3?? 对于D，f(2 020)＝f(0) b＝b.则函数f(x)＝(1 2 x)x－ (2 x)，x∈[－2,2]的最大值为( ) A．－1 B．1 C．6 D．12 【答案】 C 【解析】 当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2； 当1 －2. 又∵y＝x－2，y＝x3 －2在R上都为增函数，且f(x)在x＝1处连续，∴f(x)的最大值为f(2)＝23 －2＝6. 7．(2024·全国Ⅱ)设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)( A．是偶函数，且在??1?2，＋∞???单调递增 B．是奇函数，且在???－112，2??? 单调递减 C．是偶函数，且在???－∞，－12???单调递增 D．是奇函数，且在???－∞，－12???单调递减 【答案】 D ?【解析】 f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|的定义域为???1 ?x??? x≠± 2 ?? ??. ? 又f(－x)＝ln|－2x＋1|－ln|－2x－1| ＝ln|2x－1|－ln|2x＋1| ＝－f(x)， ) ∴f(x)为奇函数，故排除A，C. 1??当x∈?－∞，－?时， 2?? －2x－1 f(x)＝ln(－2x－1)－ln(1－2x)＝ln 1－2x2?2x＋1?＝ln＝ln?1＋?， 2x－1?2x－1? 1?2?∵y＝1＋在?－∞，－?上单调递减， 2?2x－1? 1??∴由复合函数的单调性可得f(x)在?－∞，－?上单调递减． 2?? 8．已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x)，若函数y＝|x－2x－3|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则i等于( ) A．0 B．m C．2m D．4m 【答案】 B 【解析】 由题意可知f(x)的图象关于直线x＝1对称，而y＝|x－2x－3|＝|(x－1)－4|的图象也关于直线x＝1对称，所以两个图象的交点关于直线x＝1对称，且每对关于直线x＝1对称的交点的横坐标之和为2，所i＝m. 二、多项选择题 9．若函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且满足f(x)＋2g(x)＝e，则( ) e＋e A．f(x)＝ 2C．f(－2) 【解析】 因为函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且满足f(x)＋2g(x)＝e，① 所以f(－x)＋2g(－x)＝e， －x x x －x x 2 2 2 e－e B．g(x)＝ 2D．g(－1) x－x
专题一 第1讲 函数的图象与性质（解析版）
