－x)＝
f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)等于( ) A．－50 B．0 C．2 D．50 【答案】 C
【解析】 ∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(1－x)＝－f(x－1)．∵f(1－x)＝f(1＋x)， ∴－f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)， ∴函数f(x)是周期为4的周期函数． 由f(x)为奇函数且定义域为R得f(0)＝0， 又∵f(1－x)＝f(1＋x)，
∴f(x)的图象关于直线x＝1对称， ∴f(2)＝f(0)＝0，
又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0， ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50) ＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.
(2)(多选)关于函数f(x)＝x＋sin x，下列说法正确的是( ) A．f(x)是奇函数 B．f(x)是周期函数 C．f(x)有零点
?π?D．f(x)在?0，?上单调递增
2??
【答案】 ACD
【解析】 由题可知函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝－x－sin x＝－f(x)，则f(x)为奇函数，故A正确；根据周期函数的定义，可知f(x)一定不是周期函数，故B错误；因为f(0)＝0＋sin 0＝0，所以f(x)有零点，故C正确；对f(x)求导得f′(x)＝1＋cos x≥0在R上恒成立，故f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，故D正确．
【要点提炼】
考点三 函数的图象
1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．
2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．
【热点突破】
考向1 函数图象的识别
【典例4】 (1)(2020·衡水模拟)函数f(x)＝x·ln |x|的图象可能是( )
【答案】 D
11【解析】 函数f(x)＝x·ln |x|是奇函数，排除选项A，C；当x＝时，y＝－，对应点在
eex轴下方，排除B.
(2)已知某函数图象如图所示，则此函数的解析式可能是( )
1－e
A．f(x)＝x·sin x
1＋e1－e
C．f(x)＝x·cos x
1＋e【答案】 B
【解析】 根据题意，由图象可得，该函数为偶函数，且在y轴右侧，先为正值，然后为负值．C，D选项中的函数均为奇函数，不符合题意；对于A选项，f(x)为偶函数，当x∈(0，π)时，
1－e
sin x>0，x<0，则f(x)<0，不符合题意；对于B选项，f(x)为偶函数，当x∈(0，π)
1＋e时，
e－1
sin x>0，x>0，则f(x)>0，符合题意．
e＋1考向2 函数图象的变换及应用
【典例5】 (1)若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为( )
x
xxx
e－1
B．f(x)＝x·sin x
e＋1e－1
D．f(x)＝x·cos x
e＋1
x
x
【答案】 C
【解析】 要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先将y＝f(x)的图象关于x轴对称得到y＝－f(x)的图象，然后再向左平移一个单位长度得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确．
?2－1，x≤0，?(2)已知函数f(x)＝?2
??－x－3x，x>0，
x
若不等式|f(x)|≥mx－2恒成立，则实数m的取值
范围为( )
A．[3－22，3＋22] C．(3－22，3＋22) 【答案】 D
?－2＋1，x≤0，?
【解析】 由函数的【解析】式易知f(x)≤0恒成立，则|f(x)|＝?2
??x＋3x，x>0，
x
B．[0,3－22] D．[0,3＋22]
不等
式|f(x)|≥mx－2恒成立，等价于函数y＝|f(x)|的图象在函数y＝mx－2图象的上方恒成立．
作出函数y＝|f(x)|的图象，如图所示，函数y＝mx－2的图象是过定点(0，－2)的直线，由图可知，当m<0时，不满足题意；当m＝0时，满足题意；当m>0时，考虑直线y＝mx－2与曲线y＝x＋3x(x>0)相切的情况．
??y＝mx－2，
由?2
?y＝x＋3x，?
2
2
得x＋(3－m)x＋2＝0，
2
令Δ＝(3－m)－8＝m－6m＋1＝0， 解得m＝3＋22或m＝3－22， 结合图形可知0 2 【方法总结】 (1)确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特征点排除不符合要求的图象． (2)函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助于函数图象的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题．求解两个函数图象在给定区间上的交点个数问题时，可以先画出已知函数完整的图象，再观察． 【拓展练习3】 (1)(2020·天津市大港第一中学模拟)函数y＝2sin 2x的图象可能是( ) 【答案】 D 【解析】 令f(x)＝2sin 2x， 因为x∈R，f(－x)＝2 |x| |－x||x| |x| sin 2(－x)＝－2sin 2x＝－f(x)， |x| 所以f(x)＝2sin 2x为奇函数，排除选项A，B； 因为当x∈? ?π，π?时，f(x)<0，所以排除选项C. ??2? 2 ??x－x，x≤0， (2)已知函数f(x)＝? ?lnx＋1，x>0，? 若存在x0∈R使得f(x0)≤ax0－1，则实数a的取 值范围是( ) A．(0，＋∞) C．(－∞，－3]∪[3，＋∞) B．[－3,0] D．(－∞，－3]∪(0，＋∞)
专题一 第1讲 函数的图象与性质（解析版）
