专题一 第1讲 函数的图象与性质
【要点提炼】
考点一 函数的概念与表示 1．复合函数的定义域
(1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，m≤g(x)≤n，从中解得x的范围即为f(g(x))的定义域．
(2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n确定的g(x)的范围即为f(x)的定义域． 2．分段函数
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集．
【热点突破】
?x?【典例1】 (1)若函数f(x)＝log2(x－1)＋2－x，则函数f ??的定义域为( )
?2?
A．(1,2] B．(2,4] C．[1,2) D．[2,4)
??2x＋1，x≤0，
(2)设函数f(x)＝?x
?4，x>0，?
则满足f(x)＋f(x－1)≥2的x的取值范围是________．
?1?【答案】 ?，＋∞? ?2?
??2x＋1，x≤0，
【解析】 ∵函数f(x)＝?x
??4，x>0，
∴当x≤0时，x－1≤－1，f(x)＋f(x－1)＝2x＋1＋2(x－1)＋1＝4x≥2，无解；
??x>0，
当???x－1≤0，
即0 1xx f(x)＋f(x－1)＝4＋2(x－1)＋1＝4＋2x－1≥2，得≤x≤1； 2 当x－1>0，即x>1时，f(x)＋f(x－1)＝4＋4 xx－1 ≥2，得x>1. ?1?综上，x的取值范围是?，＋∞?. ?2? 【方法总结】 (1)形如f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则． (2)对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解． ??x＋2a，x<1， 【拓展练习】(1)已知实数a<0，函数f(x)＝? ?－x，x≥1，? 2 若f(1－a)≥f(1＋a)，则实 数a的取值范围是( ) A．(－∞，－2] C．[－1,0) 【答案】 B 【解析】 当a<0时，1－a>1且1＋a<1，即f(1－a)＝－(1－a)＝a－1；f(1＋a)＝(1＋a) 2 2 2 B．[－2，－1] D．(－∞，0) ＋2a＝a＋4a＋1，由f(1－a)≥f(1＋a)，得a＋3a＋2≤0，解得－2≤a≤－1，所以a∈[－2，－1]． (2)(多选)设函数f(x)的定义域为D，如果对任意的x∈D，存在y∈D，使得f(x)＝－f(y)成立，则称函数f(x)为“H函数”．下列为“H函数”的是( ) A．y＝sin xcos x C．y＝2 【答案】 AB 1?11?【解析】 由题意，得“H函数”的值域关于原点对称．A中，y＝sin xcos x＝sin 2x∈?－，?， 2?22?其值域关于原点对称，故A是“H函数”；B中，函数y＝ln x＋e的值域为R，故B是“H函数”；C中，因为y＝2>0，故C不是“H函数”；D中，y＝x－2x＝(x－1)－1≥－1，其值域不关于原点对称，故D不是“H函数”．综上所述，A，B是“H函数”． x 2 2 x x B．y＝ln x＋e D．y＝x－2x 2 x 【要点提炼】 考点二 函数的性质 1．函数的奇偶性 (1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有： f(x)是偶函数?f(－x)＝f(x)＝f(|x|)； f(x)是奇函数?f(－x)＝－f(x)． (2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数)． 2．函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法． 3．函数图象的对称中心或对称轴 (1)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝2b－f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称． a＋b (2)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称． 2 【热点突破】 考向1 单调性与奇偶性 【典例2】 (1)(2020·新高考全国Ⅰ)若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是( ) A．[－1,1]∪[3，＋∞) C．[－1,0]∪[1，＋∞) 【答案】 D 【解析】 因为函数f(x)为定义在R上的奇函数， 则f(0)＝0. 又f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0， 画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示， 则函数f(x－1)的大致图象如图(2)所示． B．[－3，－1]∪[0,1] D．[－1,0]∪[1,3] 当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≤0， 得－1≤x≤0. 当x>0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≥0， 得1≤x≤3. 故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1,0]∪[1,3]． ?π?cos?－πx?＋?2? (2)设函数f(x)＝22 x＋e 为________． 【答案】 1 x＋e 2 的最大值为M，最小值为N，则(M＋N－1) 2 021 的值 ?π?cos?－πx?＋ ?2? 【解析】 由已知x∈R，f(x)＝22 x＋e sin πx＋x＋e＋2exsin πx＋2ex＝＝＋1， 2222x＋ex＋esin πx＋2ex 令g(x)＝，易知g(x)为奇函数， 22 x＋e 2 2 x＋e 2 由于奇函数在对称区间上的最大值与最小值的和为0， M＋N＝f(x)max＋f(x)min＝g(x)max＋1＋g(x)min＋1＝2，(M＋N－1) 考向2 奇偶性与周期性 2 021 ＝1. ?3??1?【典例3】(1)定义在R上的奇函数f(x)满足f ?x＋?＝f(x)，当x∈?0，?时，f(x)＝?2??2? 3?log1?1?x?，则f(x)在区间??1，2?内是( ) ?? 2A．减函数且f(x)>0 C．增函数且f(x)>0 【答案】 D B．减函数且f(x)<0 D．增函数且f(x)<0 ?1?【解析】 当x∈?0，?时，由f(x)＝log1?1?x?可知，f(x)单调递增且f(x)>0，又函数 ?2? 2?1??3?f(x)为奇函数，所以在区间?－，0?上函数也单调递增，且f(x)<0.由f ?x＋?＝f(x)知，?2??2? 3?3?函数的周期为，所以在区间?1，?上，函数单调递增且f(x)<0.故选D. 2?2? (2)已知定义在R上的函数f(x)满足：函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，且x≥0时恒有f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝e－1，则f(2 020)＋f(－2 021)＝________. 【答案】 1－e 【解析】 因为函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，所以y＝f(x)的图象关于原点对称， 又定义域为R，所以函数y＝f(x)是奇函数， 因为x≥0时恒有f(x＋2)＝f(x)， 所以x≥0时，f(x)是周期为2的周期函数． 所以f(2 020)＋f(－2 021)＝f(0)－f(2 021) ＝f(0)－f(1)＝(e－1)－(e－1)＝1－e. 二级结论 (1)若函数f(x)为偶函数，且f(a＋x)＝f(a－x)，则2a是函数f(x)的一个周期． (2)若函数f(x)为奇函数，且f(a＋x)＝f(a－x)，则4a是函数f(x)的一个周期． (3)若函数f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，且f(b＋x)＝f(b－x)，则2(b－a)是函数f(x)的一个周期． 【拓展练习】 (1)(2018·全国Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1 0 1 x
专题一 第1讲 函数的图象与性质（解析版）
