2019届高考数学二轮复习解答必刷卷（一）函数与导数文

解答必刷卷(一) 函数与导数

考查范围:第4讲~第15讲 题组一 真题集训

1.[2018·全国卷Ⅰ] 已知函数f(x)=ae-lnx-1. (1)设x=2是f(x)的极值点,求a,并求f(x)的单调区间; (2)证明:当a≥ 时,f(x)≥0.

2.[2018·北京卷] 设函数f(x)=[ax-(3a+1)x+3a+2]e. (1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为0,求a; (2)若f(x)在x=1处取得极小值,求a的取值范围.

2

x

x

3.[2018·全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)=x-a(x+x+1).

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(1)若a=3,求f(x)的单调区间; (2)证明:f(x)只有一个零点.

题组二 模拟强化

4.[2018·湖南衡阳一模] 已知函数f(x)= +alnx. (1)若函数f(x)在(0,2)上单调递减,求实数a的取值范围; (2)设h(x)=f(x)+|(a-2)x|,x∈[1,+∞),求证:h(x)≥2.

5.[2018·山西太原模拟] 已知函数f(x)=esinx-cosx,g(x)=xcosx- e,其中e是自然对数的底数.

(1)判断函数f(x)在0,

xx内零点的个数,并说明理由;

(2)若?x1∈0, ,?x2∈0, ,f(x1)+g(x2)≥m,试求实数m的取值范围.

6.[2018·广东六校三联] 已知函数f(x)=x-2x+1+a(lnx-x+1)(其中a∈R且a为常数). (1)若对于任意的x∈(1,+∞),都有f(x)>0成立,求a的取值范围;

(2)在(1)的条件下,若方程f(x)+a+1=0在(0,2]上有且只有一个实根,求a的取值范围.

2

解答必刷卷(一)

1.解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=ae-.

x

由题设知,f'(2)=0,所以a= . 从而f(x)=

e-lnx-1,f'(x)=x

e-.

x

当02时,f'(x)>0. 所以f(x)在(0,2)单调递减,在(2,+∞)单调递增. (2)证明:当a≥时,f(x)≥-lnx-1.

设g(x)= -lnx-1,则g'(x)= - . 当0

当x>1时,g'(x)>0.所以x=1是g(x)的最小值点. 故当x>0时,g(x)≥g(1)=0. 因此,当a≥ 时,f(x)≥0.

2.解:(1)因为f(x)=[ax-(3a+1)x+3a+2]e, 所以f'(x)=[ax-(a+1)x+1]e,f'(2)=(2a-1)e. 由题设知f'(2)=0,即(2a-1)e=0,解得a= .

(2)方法一:由(1)得f'(x)=[ax-(a+1)x+1]e=(ax-1)(x-1)e. 若a>1,则当x∈

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2

2

xx2

xx ,1时,f'(x)<0;

当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0. 所以f(x)在x=1处取得极小值.

若a≤1,则当x∈(0,1)时,ax-1≤x-1<0,所以f'(x)>0. 所以1不是f(x)的极小值点. 综上可知,a的取值范围是(1,+∞). 方法二:f'(x)=(ax-1)(x-1)e.

x①当a=0时,令f'(x)=0得x=1. f'(x),f(x)随x的变化情况如下表:

x (-∞,1) 1 (1,+∞)

f'(x) f(x) + ↗ 0 极大值 - ↘ 所以f(x)在x=1处取得极大值,不合题意.

②当a>0时,令f'(x)=0得x1= ,x2=1.

(i)当x1=x2,即a=1时,f'(x)=(x-1)e≥0,

所以f(x)在R上单调递增,所以f(x)无极值,不合题意. (ii)当x1>x2,即0

2x

x (-∞,1) f'(x) f(x) + ↗ 1 0 极大值 0 极小值 +∞ - ↘ + ↗ 所以f(x)在x=1处取得极大值,不合题意.

(iii)当x11时,f'(x),f(x)随x的变化情况如下表:

x f'(x) f(x) ∞ 0 极大值 1 0 极小值 (1,+∞) + ↗ - ↘ + ↗ 所以f(x)在x=1处取得极小值,即a>1满足题意.

③当a<0时,令f'(x)=0得x1= ,x2=1. f'(x),f(x)随x的变化情况如下表:

x f'(x) f(x) ∞ 0 极小值 1 0 极大值 (1,+∞) - ↘ + ↗ - ↘ 所以f(x)在x=1处取得极大值,不合题意. 综上所述,a的取值范围为(1,+∞).

3.解:(1)当a=3时,f(x)= x-3x-3x-3,f'(x)=x-6x-3.

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2

2