第七章 空间解析几何参考答案
于是垂线参数方程
2?x?t?3?1?y??t?3?4?z??t?3? .
2x?3y?z?4?08．已知直线一般方程为?，求其点向?4x?6y?5z?1?0?式方程。
解：两平面法向量分别为(2,?3,?1),(4,?6,5)，故直线方向为
(?3?1?122?3,,)?(?21,?14,0)?65544?6??3y?z?4?0x?0,???6y?5z?1?0y?
令
9，得直线上一点(0,19,) 217故点向式方程为9.在直线
?x?y?z?1l:??x?z?0919z?x721???21?140
上求一点A，使得它与原点所
决定的直线与l的夹角为
arccos63 uuurOA?(x,1,x)解：直线l方向(1,1,?1)?(1,0,?1)?(?1,0,?1)
设直线上一点A(x,1,x)，则题意有2x2g2x?12，据
?63，解此方程得x??1。
故A点坐标为(1,1,1)或(?1,1,?1)。
2y?1z?3??10.证明：直线l:x?及直线l3?261?x?2y?1:2??y?z??2共面。
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第七章 空间解析几何参考答案
证明：l的方向向量n22?{1,2,0}?{0,1,1}?{2,?1,1}(2分)n1?{3,?2,6}(2分)，l的
1方向向量
。点
uuuvA?(2,?1,3)?l1,B?(1,0,?2)?l2,AB?{?1,1,?5},由于这三个向量两
两不平行，且
13uuuv(n1?n2)?AB?2?12?2?1161?0(4分)?5，
uuuvn1,n2,AB所以l与l共面(因为由上式知面)。
三向量共
证法2：l与l有交点：M(?1,1,?3)，故l与l共面。
121211.求通过直线面方程。
x?1y?2z?1l1:??2?11及直线
?x?2y?1l2:??y?z??2的平
l的方向向量为n解：
22?{1,2,0}?{0,1,1}?{2,?1,1}//n1，所以l与
1l2平行(3分)。 点M1?(?1,?2,1)?l1,且易知M2?(1,0,?2)?l2，M不在直线l211上(2分)。故所求平面就是两相交直线l与定的平面。它的法向量可取为
i2j2k1?i?8j?6k(3分).?3uuuuuuv?2n?n1?nu?1M1M2uuuuuuvM1M2确
又M
1?(?1,?2,1)为已知平面上的点，所求平面的点
，即x?8y?6z?11?0(2分)。
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法式方程为
(x?1)?8(y?2)?6(z?1)?0第七章 空间解析几何参考答案
12． 已知解：S而所以
?ABC的两边构成的向量，求?ABC的面积。
uuuvuuuvAB?2i?j?k,BC?3i?2j?k?ABCuvuuuv1uuuvuuuv1uu?|BA?BC|?|AB?BC|(2分),22ijkuuuvuuuvAB?BC?21?1?3i?5j?k(2分),321
.
uuuvuuuv|AB?BC|?35，从而S?ABC?135(2分)2x?z?213.求直线?在平面x?y?z?0上的投影方程。 ?y?2z?4?x?z?2解：过直线?的平面束方程为 ?y?2z?4???:x?z?2??(y?2z?4)?0(2分)?.
在?中取一个平面与已知平面垂直，则两法向量垂直，故有
{1,?,?1?2?}?{1,1,?1}?0(2分)，
即1???1?2??0,???2。故过已知直线且与已知平3面垂直的平面为
3x?2y?z?14?0(2分).
从而直线在平面上的投影即为
?3x?2y?z?14?0(2分)?x?y?z?0?.
且垂直于平面
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14. 求过直线
?2x?4y?z?0??3x?y?2z?9?0第七章 空间解析几何参考答案
4x-y+z-1=0的平面方程。
解 设所求的平面的法向量为{A，B，C}，已知直线的方向数为{m,n,p}
?2m?4n?p?0??3m?n?2p?09n?m???7??p?10n?7?则
有 方向数为{9，7，
10}(2分)
?9A?7B?10C?0??4A?B?C?017C?A????37??B??31C?37?又因有法向量为{17，31，
-37}(3分)
直线上有点（0，-1，-4） 平面方程为17x+31(y+1)-37(z+4)=0 15．求过点(3，1，-2)且过直线面方程。
取直线上一点（-1，-5，-1），设所求平面的法向量为{A，B，C}
两点连线的方向数为{4，6，-1}（2分）
?4A?6B?C?0??5A?2B?C?08B?A????9??C?22B?9?x?4y?3z??521的平
有 得则法向量为{-8，9，
22}（2分）
平面方程为-8(x-3)+9(y-1)+22(z+2)=0
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第七章 空间解析几何参考答案
即8x-9y-22z-59=0（2分）
16、一平面过点M（-1，1，2）与z轴，求该平面方程。 解：
vvvijkvvvn??112?i?j,(3分)所求平面方程为：x?y?0(3分)
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向量代数与空间解析几何-期末复习题-高等数学下册-(上海电机学院)
