2020版《名师导学》高考文科数学新课标总复习练习题:第二章+第6讲 函数的值域与最值
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第6讲 函数的值域与最值
夯实基础 【p15】
【学习目标】
理解函数值域与最值的意义;熟练掌握基本初等函数的值域;掌握求函数的值域和最值的基本方法.
【基础检测】
1.已知集合A={x|y=x+1},B={y|y=x2+1},则A∩B=( ) A. B.[-1,1]
C.[-1,+∞) D.[1,+∞) 【解析】A={x|y=
x+1}={x|x≥-1},
B={y|y=x2+1}={y|y≥1}. 所以A∩B=[1,+∞).
【答案】D
2.定义在R上的函数y=f(x)的值域为[a,b],则函数y=f(x)+1的值域为( ) A.[a,b] B.[a+1,b+1] C.[a-1,b-1] D.无法确定 【解析】∵f(x)的值域为[a,b], ∴f(x)∈[a,b],
∴f(x)+1∈[a+1,b+1].故选B. 【答案】B
3.下列四个函数: ①y=3-x;
-
②y=2x1(x>0); ③y=x2+2x-10; x(x≤0),??④y=?1
??x(x>0).
其中定义域与值域相同的函数有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解析】①y=3-x的定义域和值域均为R.
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1?②y=2x-1(x>0)定义域为(0,+∞),值域为??2,+∞?. ③y=x2+2x-10定义域为R,值域为{y|y≥-11}.
??x(x≤0),
④y=?1的定义域和值域均为R.
??x(x>0)
定义域与值域相同的函数是①④,共两个,故选B.
【答案】B
4.函数y=x2-2x(-2≤x≤4,x∈Z)的值域为____________.
【解析】根据-2≤x≤4,x∈Z,确定x的值,代入函数解析式,即可求得函数的值域. 【答案】-1,0,3,8
【知识要点】 1.函数的值域
函数的值域是__函数值__的集合,记为{y|y=f(x),x∈A},其中A为f(x)的定义域. 2.常见函数的值域
(1)一次函数y=kx+b(k≠0)的值域为__R__. (2)二次函数
y=ax2+bx+c(a≠0),当
2
{}
4ac-b2?a>0时,值域为__当a<0时,,+∞?__;
?4a?4ac-b?值域为__?-∞,__.
4a??
k
(3)反比例函数y=(k≠0)的值域为__(-∞,0)∪(0,+∞)__.
x(4)指数函数y=ax(a>0且a≠1)的值域为__(0,+∞)__.
(5)对数函数y=logax(a>0且a≠1)的值域为__R__.
(6)正、余弦函数y=sin x,y=cos x的值域为__[-1,1]__;正切函数的值域为__R__. 3.函数的最值 前提 条件 结论 设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实 数M满足 (1)对于任意的x∈I,都有__f(x)≤M__; (3)对于任意的x∈I,都有__f(x)≥M__; (2)存在x0∈I,使得f(x0)=M. (4)存在x0∈I,使得f(x0)=M. M为最大值 M为最小值 典 例 剖 析 【p15】
考点1 函数值域的求法
例1求下列函数的值域.
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1-x2
(1)y=;
1+x2
(2)f(x)=|1-x|-|x-3|,x∈R; (3)y=x+41-x;
2x2-x+1?1?x>. (4)y=
2x-1?2?-1-x2+22
【解析】(1)∵y==-1+,且x2+1≥1,
221+xx+122
∴0<≤2,∴-1<-1+≤1,
22x+1x+11-x2∴函数y=的值域是(-1,1].
1+x2
(2)f(x)=|1-x|-|x-3|=|x-1|-|x-3|,利用绝对值的几何意义可知f(x)表示x到1的距离与x到3的距离之差,结合数轴可知值域为[-2,2].
(3)换元法:设t=5(t≥0),
∴y≤5,∴原函数值域为(-∞,5].
2x2-x+12x-1
x(2x-1)+1111
=x+=x-++,
2122x-12x-1x-
2
12
1-x≥0,则x=1-t2,∴原函数可化为y=1-t2+4t=-(t-2)2+
(4) y==
11
∵x>,∴x->0,
221∴x-+
2
12
1?x-1?2=2, ?2?1
x-212
≥21x-2
1+21
当且仅当x-=时,即x=时等号成立.
212x-211
2+,+∞?. ∴y≥2+,∴原函数的值域为?2??2
【小结】求函数的值域常用的方法:
(1)观察法:对于一些较为简单的函数,其值域可通过观察法得到; (2)利用常见函数的值域来求;
(3)单调性法:若为单调函数,可利用单调性直接求解.
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(4)分离常数法:即将分式转化为“反比例型”函数,再求值域;
(5)换元法:换元时,务必注意新变量的取值范围,否则将会扩大取值范围. (6)不等式法:用基本不等式、绝对值不等式等求.
考点2 函数最值的求法
例2求下列函数的最值.
(1)y=x3-4x2+4x,x∈[0,3]; sin2x+1(2)y=,0<x<π.
sin x
【解析】(1)y′=3x2-8x+4=(3x-2)(x-2), 2令y′=0得x=2或x=,
3
2?32
而f(0)=0,f(2)=0,f??3?=27,f(3)=3, ∴当x=3时,ymax=3;当x=0或2时,ymin=0. 1(2)y=sin x+,x∈(0,π).
sin x
1
令sin x=t,则t∈(0,1],y=t+≥2,
t
π
当且仅当t=1时,ymin=2,故当x=时,ymin=2,无最大值.
2
【小结】如第(1)题,连续的函数在闭区间上一定有最大、最小值,它们一定在端点或极值点处取得,第(2)题则转化为用基本不等式求最值.
考点3 含参函数值域和最值问题
例3已知函数f(x)=x3+|x-a|(a∈R).
(1)当a=1时,求f(x)在(0,f(0))处的切线方程;
(2)当a∈(0,1)时,求f(x)在区间[-1,1]上的最小值(用a表示). 【解析】(1)当a=1,x<1时,f(x)=x3+1-x,f′(x)=3x2-1, 所以f(0)=1,f′(0)=-1,
所以f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y=-x+1.
3??x+x-a,a<x≤1,
(2)当a∈(0,1)时,由已知得f(x)=?
3??x-x+a,-1≤x≤a.
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当a
所以f(x)min=min?f(-1),f?
??
?233??23?
?=min?a,a-?=a-.
99??3???
3?3?333?上递增,在?-,?上递减,在?,1?上递,1时,f(x)在-1,-
3??3???33??3?
②当a∈?0,
?
3?33
时,f(x)在?-1,-?上递增,在?-,a?上递减,在(a,1)上递增, 3?3???3?
所以f(x)min=min{f(-1),f(a)}=min{a,a3}=a3.
23?3,1?,a-,a∈??9?3?=?
3?0,?.a,a∈??3??
3
综上所述,f(x)min
【小结】求函数值域或最值常用方法有:单调性法、图象法、基本不等式法、导数法、
换元法.
【能力提升】
1
例4已知≤a≤1,若函数f(x)=ax2-2x+1在区间[1,3]上的最大值为M(a),最小值为
3N(a),令g(a)=M(a)-N(a).
(1)求g(a)的函数解析式;
1?
(2)判断函数g(a)在区间??3,1?上的单调性,并求出g(a)的最大值. 【解析】(1)f(x)=ax2-2x+1=a11
由≤a≤1得1≤≤3, 3a1?1则N(a)=f?=1-. ?a?a
11
当1≤<2,即 a2111 当2≤≤3,即≤a≤时,M(a)=f(1)=a-1, a32 ?x-1?+1-1, ?a?a 2 ? 则g(a)=?11
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