2020版《名师导学》高考文科数学新课标总复习练习题：第二章+第6讲 函数的值域与最值
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第6讲 函数的值域与最值
夯实基础 【p15】
【学习目标】
理解函数值域与最值的意义；熟练掌握基本初等函数的值域；掌握求函数的值域和最值的基本方法．
【基础检测】
1．已知集合A＝{x|y＝x＋1}，B＝{y|y＝x2＋1}，则A∩B＝( ) A． B．[－1，1]
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞) 【解析】A＝{x|y＝
x＋1}＝{x|x≥－1}，
B＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}． 所以A∩B＝[1，＋∞)．
【答案】D
2．定义在R上的函数y＝f(x)的值域为[a，b]，则函数y＝f(x)＋1的值域为( ) A．[a，b] B．[a＋1，b＋1] C．[a－1，b－1] D．无法确定 【解析】∵f(x)的值域为[a，b]， ∴f(x)∈[a，b]，
∴f(x)＋1∈[a＋1，b＋1]．故选B. 【答案】B
3．下列四个函数： ①y＝3－x；
－
②y＝2x1(x>0)； ③y＝x2＋2x－10； x（x≤0），??④y＝?1
??x（x>0）.
其中定义域与值域相同的函数有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解析】①y＝3－x的定义域和值域均为R.
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1?②y＝2x－1(x>0)定义域为(0，＋∞)，值域为??2，＋∞?. ③y＝x2＋2x－10定义域为R，值域为{y|y≥－11}．
??x（x≤0），
④y＝?1的定义域和值域均为R.
??x（x>0）
定义域与值域相同的函数是①④，共两个，故选B.
【答案】B
4．函数y＝x2－2x(－2≤x≤4，x∈Z)的值域为____________．
【解析】根据－2≤x≤4，x∈Z，确定x的值，代入函数解析式，即可求得函数的值域． 【答案】－1，0，3，8
【知识要点】 1．函数的值域
函数的值域是__函数值__的集合，记为{y|y＝f(x)，x∈A}，其中A为f(x)的定义域． 2．常见函数的值域
(1)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的值域为__R__． (2)二次函数
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当
2
{}
4ac－b2?a＞0时，值域为__当a＜0时，，＋∞?__；
?4a?4ac－b?值域为__?－∞，__．
4a??
k
(3)反比例函数y＝(k≠0)的值域为__(－∞，0)∪(0，＋∞)__．
x(4)指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的值域为__(0，＋∞)__．
(5)对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的值域为__R__．
(6)正、余弦函数y＝sin x，y＝cos x的值域为__[－1，1]__；正切函数的值域为__R__． 3．函数的最值 前提 条件 结论 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实 数M满足 (1)对于任意的x∈I，都有__f(x)≤M__； (3)对于任意的x∈I，都有__f(x)≥M__； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M. (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M. M为最大值 M为最小值 典 例 剖 析 【p15】
考点1 函数值域的求法
例1求下列函数的值域．
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1－x2
(1)y＝；
1＋x2
(2)f(x)＝|1－x|－|x－3|，x∈R； (3)y＝x＋41－x；
2x2－x＋1?1?x>. (4)y＝
2x－1?2?－1－x2＋22
【解析】(1)∵y＝＝－1＋，且x2＋1≥1，
221＋xx＋122
∴0<≤2，∴－1<－1＋≤1，
22x＋1x＋11－x2∴函数y＝的值域是(－1，1]．
1＋x2
(2)f(x)＝|1－x|－|x－3|＝|x－1|－|x－3|，利用绝对值的几何意义可知f(x)表示x到1的距离与x到3的距离之差，结合数轴可知值域为[－2，2]．
(3)换元法：设t＝5(t≥0)，
∴y≤5，∴原函数值域为(－∞，5]．
2x2－x＋12x－1
x（2x－1）＋1111
＝x＋＝x－＋＋，
2122x－12x－1x－
2
12
1－x≥0，则x＝1－t2，∴原函数可化为y＝1－t2＋4t＝－(t－2)2＋
(4) y＝＝
11
∵x>，∴x－>0，
221∴x－＋
2
12
1?x－1?2＝2， ?2?1
x－212
≥21x－2
1＋21
当且仅当x－＝时，即x＝时等号成立．
212x－211
2＋，＋∞?. ∴y≥2＋，∴原函数的值域为?2??2
【小结】求函数的值域常用的方法：
(1)观察法：对于一些较为简单的函数，其值域可通过观察法得到； (2)利用常见函数的值域来求；
(3)单调性法：若为单调函数，可利用单调性直接求解．
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(4)分离常数法：即将分式转化为“反比例型”函数，再求值域；
(5)换元法：换元时，务必注意新变量的取值范围，否则将会扩大取值范围． (6)不等式法：用基本不等式、绝对值不等式等求．
考点2 函数最值的求法
例2求下列函数的最值．
(1)y＝x3－4x2＋4x，x∈[0，3]； sin2x＋1(2)y＝，0＜x＜π.
sin x
【解析】(1)y′＝3x2－8x＋4＝(3x－2)(x－2)， 2令y′＝0得x＝2或x＝，
3
2?32
而f(0)＝0，f(2)＝0，f??3?＝27，f(3)＝3， ∴当x＝3时，ymax＝3；当x＝0或2时，ymin＝0. 1(2)y＝sin x＋，x∈(0，π)．
sin x
1
令sin x＝t，则t∈(0，1]，y＝t＋≥2，
t
π
当且仅当t＝1时，ymin＝2，故当x＝时，ymin＝2，无最大值．
2
【小结】如第(1)题，连续的函数在闭区间上一定有最大、最小值，它们一定在端点或极值点处取得，第(2)题则转化为用基本不等式求最值．
考点3 含参函数值域和最值问题
例3已知函数f(x)＝x3＋|x－a|(a∈R)．
(1)当a＝1时，求f(x)在(0，f(0))处的切线方程；
(2)当a∈(0，1)时，求f(x)在区间[－1，1]上的最小值(用a表示)． 【解析】(1)当a＝1，x<1时，f(x)＝x3＋1－x，f′(x)＝3x2－1， 所以f(0)＝1，f′(0)＝－1，
所以f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y＝－x＋1.
3??x＋x－a，a＜x≤1，
(2)当a∈(0，1)时，由已知得f(x)＝?
3??x－x＋a，－1≤x≤a.
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当a
所以f(x)min＝min?f（－1），f?
??
?233??23?
?＝min?a，a－?＝a－.
99??3???
3?3?333?上递增，在?－，?上递减，在?，1?上递，1时，f(x)在－1，－
3??3???33??3?
②当a∈?0，
?
3?33
时，f(x)在?－1，－?上递增，在?－，a?上递减，在(a，1)上递增， 3?3???3?
所以f(x)min＝min{f(－1)，f(a)}＝min{a，a3}＝a3.
23?3，1?，a－，a∈??9?3?＝?
3?0，?.a，a∈??3??
3
综上所述，f(x)min
【小结】求函数值域或最值常用方法有：单调性法、图象法、基本不等式法、导数法、
换元法．
【能力提升】
1
例4已知≤a≤1，若函数f(x)＝ax2－2x＋1在区间[1，3]上的最大值为M(a)，最小值为
3N(a)，令g(a)＝M(a)－N(a)．
(1)求g(a)的函数解析式；
1?
(2)判断函数g(a)在区间??3，1?上的单调性，并求出g(a)的最大值． 【解析】(1)f(x)＝ax2－2x＋1＝a11
由≤a≤1得1≤≤3， 3a1?1则N(a)＝f?＝1－. ?a?a
11
当1≤<2，即 a2111 当2≤≤3，即≤a≤时，M(a)＝f(1)＝a－1， a32 ?x－1?＋1－1， ?a?a 2 ? 则g(a)＝?11 9a＋－6，?a2 11 (2)设≤a1 32 111 a＋－2，≤a≤，a32 - 5 - / 7 2020版《名师导学》高考文科数学新课标总复习练习题：第二章+第6讲 函数的值域与最值 +Word版含解析 a2－a11111??????g(a1)－g(a2)＝?a1＋a－2?－?a2＋a－2?＝(a1－a2)＋?a－a?＝(a1－a2)＋＝(a1－a1a21212 1??1，1?上是减函数， 1－a2)?>0，则g(a)在区间?a1a2??32? 11?14 ，上，g(a)的最大值为g??＝. 故在区间??32??3?31 设 a2－a11111??????9a＋－69a＋－6－g(a1)－g(a2)＝?1a?－?2a2?＝(9a1－9a2)＋?a1a2?＝9(a1－a2)＋a1a2＝1 1??1，1?上是增函数， 9－(a1－a2)?<0，则g(a)在区间?a1a2??2? 1? 故g(a)在区间??2，1?上的最大值为g(1)＝4. 综上，g(a)的最大值为4. 方 法 总 结 【p16】 1．函数的值域是函数值的集合，它受到定义域的制约，故求值域时应首先考虑定义域． 2．求值域的方法很多，常用方法有：单调性法、图象法、基本不等式法、导数法、换元法． 3．求最值可由值域而得到，但我们也要重视最值的概念，注意检验是否具备取得最值的条件． 4．与最值有关的“恒成立”的意义： f(x)≥a恒成立f(x)min≥a， f(x)≤b恒成立f(x)max≤b. 5．与最值有关的“存在性”的意义： 定义域内存在x0，使f(x0)≥aa≤f(x)max； 定义域内存在x0，使f(x0)≤bb≥f(x)min. 走 进 高 考 【p16】 4 x＋－a?＋a在区间[1，4]上的最大值是5，则a1．(2017·浙江)已知a∈R，函数f(x)＝??x?的取值范围是________． 4 【解析】x∈[1，4]，x＋∈[4，5]，分类讨论： x44 ①当a≥5时，f(x)＝a－x－＋a＝2a－x－， xx9 函数的最大值2a－4＝5，∴a＝，舍去； 2 - 6 - / 7 2020版《名师导学》高考文科数学新课标总复习练习题：第二章+第6讲 函数的值域与最值 +Word版含解析 44 ②当a≤4时，f(x)＝x＋－a＋a＝x＋≤5，此时命题成立； xx③当4 ??|4－a|＋a≥|5－a|＋a，??|4－a|＋a<|5－a|＋a， ?或? ?|4－a|＋a＝5，?|5－a|＋a＝5，?? 99解得：a＝或a<， 22 9 －∞，?. 综上可得，实数a的取值范围是?2??9 －∞，? 【答案】?2?? - 7 - / 7
2020版《名师导学》高考文科数学新课标总复习练习题：第二章+第6讲 函数的值域与最值+Word版含
