苏子愀然，正襟危坐，而问客曰：“何为其然也？”客曰：“‘月明星稀，乌鹊南飞。’此非曹孟德之诗乎？西望夏口，东望武昌，山川相缪，郁乎苍苍，此非孟德之困于周郎者乎？方其破荆州，下江陵，顺流而东也，舳舻千里，旌旗蔽空，酾酒临江，横槊赋诗，固一世之雄也，而今安在哉？柯西不等式、排序不等式与数学归纳法
考前过关训练 (35分钟 60分)
一、选择题(每小题3分,共18分) 1.函数y=2+
的最大值为 ( )
A.
B.- C.-3 D.3 【解析】选D.y=·
+1·
≤
=3,
当且仅当=,即x=0时,等号成立.
2.已知实数a,b,c,d满足a+b+c+d=3,a2
+2b2
+3c2
+6d2
=5,则a的最大值是 ( ) A.1
B.2
C.3
D.4
【解题指南】利用柯西不等式构建关于a的不等式求解. 【解析】选B.由柯西不等式,得
(2b2+3c2+6d2
)
≥(b+c+d)2
,
即2b2
+3c2
+6d2
≥(b+c+d)2
,
当且仅当=
=
时等号成立.
又b+c+d=3-a,2b2
+3c2
+6d2
=5-a2
, 故5-a2
≥(3-a)2
,
解得1≤a≤2,即a的最大值是2.
3.一组实数为a1,a2,a3,设c1,c2,c3是另一组数b1,b2,b3的任意一个排列,则a1c1+a2c2+a3c3的A.最大值为a1b1+a2b2+a3b3,最小值为a1b3+a2b2+a3b1 B.最大值为a1b2+a2b3+a3b1,最小值为a1b3+a2b1+a3b2 C.最大值与最小值相等为a1b1+a2b2+a3b3 D.以上答案都不对
) ( 苏子愀然，正襟危坐，而问客曰：“何为其然也？”客曰：“‘月明星稀，乌鹊南飞。’此非曹孟德之诗乎？西望夏口，东望武昌，山川相缪，郁乎苍苍，此非孟德之困于周郎者乎？方其破荆州，下江陵，顺流而东也，舳舻千里，旌旗蔽空，酾酒临江，横槊赋诗，固一世之雄也，而今安在哉？【解析】选D.a1,a2,a3与b1,b2,b3的大小顺序不知,无法确定其最值. 4.对于正整数n,下列说法不正确的是 ( ) A.3≥1+2n C.0.9<1-0.1n
nn
B.0.9≥1-0.1n D.0.1≥1-0.9n
n
n
【解析】选C.由贝努利不等式知,选项C不正确.
5.(2016·菏泽高二检测)已知x+y+z=1,则2x+3y+z的最小值为 ( )
2
2
2
A. B. C. D.
【解析】选D.由柯西不等式得,
(2x+3y+z)
222
≥(x+y+z)=1,
2
所以(2x+3y+z)≥
222
.
6.(2016·苏州高二检测)已知x,y,z∈R+,且++=1,则x++的最小值为
( )
A.5
B. 6
C. 8
D.9
【解析】选D.由柯西不等式,知
≥(1+1+1)=9,
2
因为++=1,所以x++≥9.
即x++的最小值为9.
二、填空题(每小题4分,共12分) 7.已知点P是边长为2
2
2
2
的等边三角形内一点,它到三边的距离分别为x,y,z,则x,y,z所满足的关系式为
________,x+y+z的最小值是______. 【解析】利用三角形面积相等,得
苏子愀然，正襟危坐，而问客曰：“何为其然也？”客曰：“‘月明星稀，乌鹊南飞。’此非曹孟德之诗乎？西望夏口，东望武昌，山川相缪，郁乎苍苍，此非孟德之困于周郎者乎？方其破荆州，下江陵，顺流而东也，舳舻千里，旌旗蔽空，酾酒临江，横槊赋诗，固一世之雄也，而今安在哉？×2(x+y+z)=
2
2
2
×(2),即x+y+z=3.
2
2
由(1+1+1)(x+y+z)≥(x+y+z)=9, 得x+y+z≥3,当且仅当x=y=z=1时取等号. 答案:x+y+z=3 3
8.如图所示,矩形OPAQ中,a1≤a2,b1≤b2,则阴影部分的矩形的面积之和________空白部分的矩形的面积之和.
2
2
2
【解析】由题干图可知,阴影部分的面积=a1b1+a2b2,而空白部分的面积=a1b2+a2b1,根据顺序和≥逆序和可知,a1b1+a2b2≥a1b2+a2b1. 答案:≥
9.(2016·聊城高二检测)凸n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形对角线条数f(n+1)与f(n)的递推关系为________.
【解析】凸n+1边形比凸n边形对角线条数多n-1,
所以凸n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形对角线条数f(n+1)与f(n)的递推关系为f(n+1)=f(n)+n-1. 答案:f(n+1)=f(n)+n-1
三、解答题(每小题10分,共30分)
10.已知a,b,c∈R+,求证:++≥a+b+c.
101010
【解题指南】可以发现左右两边的次数相等,因此,应该进行适当的拼凑,使其成为积的形式.
【证明】不妨设a≥b≥c>0,则≥≥>0且a≥b≥c>0,
121212
则++≥++
2017年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式考前过关训练含解析新人教A版选修4_5
