微专题19 等差、等比数列中的基本量问题
在数学高考题中考查数列的有关知识时，常常会涉及对考生运用数列的“基本量”或“等差、等比数列的性质”解决有关问题能力的考查．考生如能灵活运用“等差、等比数列的性质”解题，往往收到“事半功倍”的效果.
S51S5
(2020·苏州模拟)设Sn是等比数列{an}的前n项和，若＝，则＝_________.
S103S20＋S10
a7
已知{an}为等差数列，若<－1，且数列{an}的前n项和Sn有最大值，那么当Sn
a6
取得最小正值时，n＝________.
本题考查等差、比数列的基本量的计算，先是运用基本公式将条件转化基本量的
方程，然后解方程便可得到最终的结果．作为填空题，也可利巧用等差、等比数列的性质求解.
(2019·南京一模)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若{an}的前2 017项中的奇数项
和为2 018，则S2 017的值为________．
763
等比数列{an}的各项均为实数，其前n项的和为Sn，已知S3＝，S6＝，则a8
44
的值为________．
S61915
(2020·苏州模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且＝－，a4－a2＝－，
S388
则a3的值为________．
(2019·如皋一模)已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若6a6，a8,8a4成等差数列，
且S2k＝65Sk，则正整数k的值是________．
(2020·镇江模拟)已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，前n项和为Sn，且数列
{Sn＋n}也为公差为d的等差数列，则d＝________.
1
(2020·南通模拟)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn.若S9＝S3＋2S6，则S6＋取
S3
得最小值时，S9的值为________．
73
3
a1?1－q9?a1?1－q3?a1?1－q6?
(基本量法)由S9＝S3＋2S6，得q≠1，所以＝＋2，
1－q1－q1－q
化简得：1－q9＝1－q3＋2(1－q6)，即q9－2q6－q3＋2＝0，即(q6－1)(q3－2)＝0，得q3
＝2,
1－q1a1?1－q6?3a1q－1
化简得：S6＋＝＋＝＋≥23.
S3a11－qa1?1－q3?q－1
q－1a1?1－q9?q－1?q9－1?3a1q－11
当＝，即a1＝时，S6＋取得最小值，所以S9＝＝×
a1S3q－11－qq－133
73＝.
3
(利用性质) 由S9＝S3＋2S6，得q≠1 设S3＝k(k>0)，由S3，S6－S3，S9－S6成等
比数列，
设公比为t(t>0)，则S3＝k，S6－S3＝tk，S9－S6＝t2k，∴S6＝(t＋1)k，S9＝(t2＋t＋1)k 代入S9＝S3＋2S6 得t2－t－2＝0，∴t＝2或t＝－1(舍)，
11373
故S6＋＝3k＋≥23(当且仅当k＝时取等号)，此时S9＝7k＝.
S3k33
作业评价
已知数列{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，且a1a2a3＝80，则a11
＋a12＋a13＝______.
S10
(2019·全国卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1≠0，a2＝3a1，则＝________.
S5
(2019·南通三模)已知{an}是等比数列，Sn是其前n项和．若a3＝2, S12＝4S6，则a9
的值为________．
(2019·镇江一模)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－2，S6＝9S3，则a5的值
为________．
设Sn为等差数列{an}(n∈N*)的前n项和，已知S3＝－24，S10－S5＝50，则Sn的最
小值为________．
设Sn为等差数列{an}的前n项的和，已知a1＋a2＋a6＝15，S7≥49，S8的取值范围
为________．
1111
1－??1－?…?1－?＝，n∈N*，则{an}数列的通项公式为已知数列{an}满足??a1??a2??an?an
________．
在正项等比数列{an}中，若a4＋a3－2a2－2a1＝6，则a5＋a6的最小值为________． .
若存在常数k(k∈N*，k≥2)、q、d，使得无穷数列{an}满足an＋1
?
＝?n
qa，?k∈N，
n
*
n
an＋d，?N*，
k
则称数列{an}为“段比差数列”，其中常数k，q，d分别叫做段长、段比、段差. 设数列{bn}为“段比差数列”．且首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，则b2 019＝________.
已知数列{an}的前n项和Sn＝(－1)n·n，若对任意正整数n，(an＋1－p)(an－p)＜0恒
成立，则实数p的取值范围是________．
2020版二轮微专题19 等差、等比数列中的基本量问题
