微专题19 等差、等比数列中的基本量问题
在数学高考题中考查数列的有关知识时,常常会涉及对考生运用数列的“基本量”或“等差、等比数列的性质”解决有关问题能力的考查.考生如能灵活运用“等差、等比数列的性质”解题,往往收到“事半功倍”的效果.
S51S5
(2020·苏州模拟)设Sn是等比数列{an}的前n项和,若=,则=_________.
S103S20+S10
a7
已知{an}为等差数列,若<-1,且数列{an}的前n项和Sn有最大值,那么当Sn
a6
取得最小正值时,n=________.
本题考查等差、比数列的基本量的计算,先是运用基本公式将条件转化基本量的
方程,然后解方程便可得到最终的结果.作为填空题,也可利巧用等差、等比数列的性质求解.
(2019·南京一模)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若{an}的前2 017项中的奇数项
和为2 018,则S2 017的值为________.
763
等比数列{an}的各项均为实数,其前n项的和为Sn,已知S3=,S6=,则a8
44
的值为________.
S61915
(2020·苏州模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且=-,a4-a2=-,
S388
则a3的值为________.
(2019·如皋一模)已知Sn是等比数列{an}的前n项和,若6a6,a8,8a4成等差数列,
且S2k=65Sk,则正整数k的值是________.
(2020·镇江模拟)已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),前n项和为Sn,且数列
{Sn+n}也为公差为d的等差数列,则d=________.
1
(2020·南通模拟)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn.若S9=S3+2S6,则S6+取
S3
得最小值时,S9的值为________.
73
3
a1?1-q9?a1?1-q3?a1?1-q6?
(基本量法)由S9=S3+2S6,得q≠1,所以=+2,
1-q1-q1-q
化简得:1-q9=1-q3+2(1-q6),即q9-2q6-q3+2=0,即(q6-1)(q3-2)=0,得q3
=2,
1-q1a1?1-q6?3a1q-1
化简得:S6+=+=+≥23.
S3a11-qa1?1-q3?q-1
q-1a1?1-q9?q-1?q9-1?3a1q-11
当=,即a1=时,S6+取得最小值,所以S9==×
a1S3q-11-qq-133
73=.
3
(利用性质) 由S9=S3+2S6,得q≠1 设S3=k(k>0),由S3,S6-S3,S9-S6成等
比数列,
设公比为t(t>0),则S3=k,S6-S3=tk,S9-S6=t2k,∴S6=(t+1)k,S9=(t2+t+1)k 代入S9=S3+2S6 得t2-t-2=0,∴t=2或t=-1(舍),
11373
故S6+=3k+≥23(当且仅当k=时取等号),此时S9=7k=.
S3k33
作业评价
已知数列{an}是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a3=15,且a1a2a3=80,则a11
+a12+a13=______.
S10
(2019·全国卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1≠0,a2=3a1,则=________.
S5
(2019·南通三模)已知{an}是等比数列,Sn是其前n项和.若a3=2, S12=4S6,则a9
的值为________.
(2019·镇江一模)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=-2,S6=9S3,则a5的值
为________.
设Sn为等差数列{an}(n∈N*)的前n项和,已知S3=-24,S10-S5=50,则Sn的最
小值为________.
设Sn为等差数列{an}的前n项的和,已知a1+a2+a6=15,S7≥49,S8的取值范围
为________.
1111
1-??1-?…?1-?=,n∈N*,则{an}数列的通项公式为已知数列{an}满足??a1??a2??an?an
________.
在正项等比数列{an}中,若a4+a3-2a2-2a1=6,则a5+a6的最小值为________. .
若存在常数k(k∈N*,k≥2)、q、d,使得无穷数列{an}满足an+1
?
=?n
qa,?k∈N,
n
*
n
an+d,?N*,
k
则称数列{an}为“段比差数列”,其中常数k,q,d分别叫做段长、段比、段差. 设数列{bn}为“段比差数列”.且首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3,则b2 019=________.
已知数列{an}的前n项和Sn=(-1)n·n,若对任意正整数n,(an+1-p)(an-p)<0恒
成立,则实数p的取值范围是________.
2020版二轮微专题19 等差、等比数列中的基本量问题
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