键，属于基础题．
15．（2019·全国高三月考（理））记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2?a4?18，S17?459，则
???1?a?的前n项和Tn3nn?______．
?9n,n?2k?k?Z???2 【答案】Tn??9(n?1)??,n?2k?1?k?Z??2?【解析】 【分析】
由等差数列的通项公式以及前n项和公式代入可求得an，再由分组求和即可求解. 【详解】
因为?an?是等数差数列，S17?459?17a9?459?a9?27，而a2?a4?18， 所以??a1?8d?27a?3，则an?3?(n?1)?3?3n，n?N?； 9，解得d?3，1?2a1?4d?18数列?a3n?构成首项为9，公差为9的等差数列；
若n为偶数，则Tn??9?18?27?36?L?9(n?1)?9n?9n， 2若n为奇数，则Tn??9?18?27?36?L?9(n?2)?9(n?1)?9n
?9(n?1)9(n?1)?9n?? 22?9n,n?2k?k?Z???2. 故Tn??9(n?1)??,n?2k?1?k?Z??2??9n,n?2k?k?Z???2 故答案为：Tn??9(n?1)??,n?2k?1?k?Z??2?【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式以及分组求和，需熟记公式，属于基础题.
16．已知三棱锥D?ABC的所有顶点都在球O的表面上，AD?平面ABC，AC?3，BC?1，
cos?ACB?3sin?ACB，AD?2，则球O的表面积为__________．
【答案】8? 【解析】
分析：根据三棱锥的结构特征，求得三棱锥外接球半径，由球表面积公式即可求得表面积。 详解：由cos?ACB?3sin?ACB，根据同角三角函数关系式得
sin2?ACB?cos2?ACB?1 ，解得sin?ACB?所以C?1 2?6 ，因为AC?3，BC?1，由余弦定理AB2?AC2?BC2?2AC?BCcosC 3?1 23?2R ，osin120代入得 AB?3?1?2?3?所以△ABC为等腰三角形，且B?120o ，由正弦定理得△ABC外接圆半径R为解得R?1
设△ABC外心为O' ，OO'?h ，过O' 作O'M?AD 则在?O'OA 中h2?12?R2 在?O'MD中?2?h??12?R2 解得R?22
所以外接球面积为S?4?R2?4???22?8?
点睛：本题综合考查了空间几何体外接球半径的求法，通过建立空间模型，利用勾股定理求得半径；结合球的表面积求值，对空间想象能力要求高，综合性强，属于难题。
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必做题,每个考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分
17．在VABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcosA?上的点. （I）求角B；
（Ⅱ）若AC?7，AD?5，DC?3，求AB的长，
2a?c，D是BC边2【答案】（I）【解析】 【分析】
?56. ；（Ⅱ）
42（I）利用正弦定理将bcosA?22sinA?sinC，再结合三角形内角a?c边化角为sinBcosA?22和定理、两角和的正弦公式即可得到B． （Ⅱ）利用余弦定理先求出?ADC?【详解】 （I）由bcosA??2?进而得到?ADB?，由正弦定理即可得到AB的长． 3322sinA?sinC， a?c，得sinBcosA?22sinBcosA?22sinA?sin?A?B?,sinBcosA?sinA?sinAcosB?cosAsinB， 22?22. B?，∵，∴，∴sinA?0cosB?sinA?sinAcosB422（Ⅱ）在?ADC中，AC?7，AD?5，DC?3，
2?AD2?DC2?AC252?32?721由余弦定理得cos?ADC????，所以?ADC?，
32AD?DC2?5?32在?ABD中，AD?5，B??4 ?ADB??3，由正弦定理，得
ABAD?，
sin?ADBsinB?35?AD?sin?ADB5632AB????. 所以
?sinB22sin425sin【点睛】
本题关键是要掌握正弦定理的变形公式，a?2RsinA，b?2RsinB，c?2RsinC，将边化为角来处理问题，在解三角形时，往往三角形内角和定理最容易忽略的，利用内角和定理可简化未知角的数量．
18．（2019·全国贵阳一中高三月考（理））如图，在三棱锥P-ABC中，已知
AC?2，AB?BC?PA?2，顶点P在平面ABC上的射影为VABC的外接圆圆心.
（1）证明：平面PAC?平面ABC； （2）若点M在棱PA上，
|AM|??，且二面角P-BC-M的余弦值为533，试求?的值. |AP|331
2
【答案】（1）证明见解析 （2）??【解析】 【分析】
（1）设AC的中点为O，连接PO，易知点O为VABC的外接圆圆心，从而PO?平面ABC，即可证明平面PAC?平面ABC；
（2）以OC，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 求出平面MBC与平面PBC的法向量，代入公式即可建立?的方程，解之即可. 【详解】
（1）证明：如图，设AC的中点为O，连接PO，
由题意，得BC2?AB2?AC2，则VABC为直角三角形， 点O为VABC的外接圆圆心．
又点P在平面ABC上的射影为VABC的外接圆圆心， 所以PO?平面ABC，
又PO?平面PAC，所以平面PAC?平面ABC． （2）解：由（1）可知PO?平面ABC， 所以PO?OB，PO?OC，OB?AC，
于是以OC，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
00)，C(1，，00)，B(0，1，0)，A(?1，，00)，P(0，，01)， 则O(0，，设AM??AP，??[0，1]，AP?(1，，01)，M(??1，，0?)，
uuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuuvBC?(1，?1，0)，PC?(1，，0?1)，MC?(2??，，0??).
ur设平面MBC的法向量为m?(x1，y1，z1)，
vvuuu?m·BC?0，?x1?y1?0，uv 则?vuuu得?(2??)x??z?0，MC?0，?11?m·令x1?1，得y1?1，z1?2???，
1，即m??1，v??2???． ???r设平面PBC的法向量为n?(x2，y2，z2)，
vruuu?n·BC?0，?x2?y2?0，uv 由?ruu得?PC?0，?x2?z2?0，?n·，1，1)， 令x?1，得y?1，z?1，即n?(1rrvn·mrvcos?n，m??rv?|n|?|m|2?2???(2??)2?3?2?533， 33?211??10，?，即M为PA的中点． 解得??，M??，22??2【点睛】
本题考查平面与平面垂直的判定，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力． 19．已知F?0,1?，直线l：y??2，若动点M到点F的距离比它到直线l的距离小1， （1）求动点M的轨迹方程E；
（2）直线l1过点F且与曲线E相交不同的两点A、B，若AB?12，求直线l1的直线方程.
2【答案】(1)x?4y；(2)y??2x?1.
【解析】 【分析】
备战2020年高考数学(理科)全真模拟试卷及解析(一)
