第二章 13
第二章 控制系统的数学模型
2.1 引言
控制系统的数学模型在时域中有微分方程、差分方程和状态方程；复域中有传递函数、结构图；频域中有频率特性等。本章研究微分方程、传递函数和结构图等数学模型的建立及应用。
2.2 控制系统的时域数学模型
用解析法列写系统或元部件微分方程的一般步骤： ⑴ 根据系统或元部件的工作情况，确定输入、输出变量；
⑵ 从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量所遵循的物理或化
学定律，列写出各元部件的动态方程，一般为微分方程组； ⑶ 消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程；
⑷ 将微分方程标准化。即将与输入有关的各项放在等号右侧，与输出有关的各项放在等号左侧，并按降幂排列。
例2-1 R-L-C无源网络图：图2-1。
例2-2 弹簧-质量-阻尼器图：图2-2。
图2-2 弹簧-质量-阻尼器系统 图2-1 R-L-C无源网络
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第二章 13
2.3 控制系统的复域数学模型
[本节在讲解传递函数之前，应当补充拉普拉式变换的知识。在本章最后增加有关于拉普拉式变换的电子素材。]
2.3.1 传递函数
1 传递函数的定义
传递函数是在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换式与输入量的拉氏变换式之比。
线性定常系统的微分方程一般可写为
dnc(t)dn?1c(t)dc(t)ann?an?1n?1?...?a1?a0c(t)?dtdtdtdmr(t)dm?1r(t)dr(t)bmm?bm?1m?1?...?b1?b0r(t)dtdtdt
(2-1)
及
bm,bm?1,...,b0式中：c(t)为输出量、r(t)为输入量，结构、参数决定的常系数。
an,an?1,...,a0均为由系统
?asn在零初始条件下对式（2-1）两端进行拉氏变换，可得相应的代数方程
n?an?1sn?1?....?a1s?a0C(s)?bmsm?bm?1sm?1?...?b1s?b0R(s)??? (2-2)
系统的传递函数为
C(s)bmsm?bm?1sm?1?...?b1s?b0??G(s)nn?1R(s)as?as?...?as?ann?110 （2-3） 2 传递函数的性质
⑴因为实际物理系统总存在惯性，并且能源功率有限，所以实际系统传递函数的分母阶次n总是大于或等于分子阶次m,即n≥m。
⑵ 传递函数只取决于系统的结构参数，与外作用及初始条件无关。 ⑶ 传递函数只描述系统的输入输出关系，不能反映系统的物理组成。 ⑷ 传递函数与微分方程有直接联系。
⑸ 传递函数的拉氏反变换即为系统的脉冲响应，因此传递函数能反映系统的运动特性。
2.3.2 典型环节的传递函数
八种典型环节的传递函数如表2-1所示。
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表2-1 典型环节 序号 1 环节名称 微分方程 传递函数 举例 电位器，放大器，水流量、热流量的变化 CR电路，交直流电动机 比例环节 c?Kr K 2 惯性环节 振荡环节 ??c?r Tc1 Ts?13 R-L-C电路， 1???2?Tc??c?r T2c 22弹簧-质量-阻尼器Ts?2?Ts?10???1 系统 水箱 （流量Q-液位h） 测速发电机 （?r?uc） 4 5 6 7 8
积分环节 微分环节 一阶复合 微分环节 二阶复合 微分环节 延迟环节 ??r c? c?r??r c??r??r c??2?r??2??r1 ss ?s?1 ?2s2?2??s?1 e??s c(t)?r(t??) 2.4 控制系统的结构图及其等效变换
2.4.1 控制系统结构图 1． 结构图的组成
控制系统结构图由四种基本图形符号组成：函数方块、信号线、分支点(引出点)和综合点(比较点或求和点)。
(a) (b) (c) (d)
图2-1 结构图四要素
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第二章 13
2． 系统结构图的建立
2.4.2 结构图等效变换
“等效”应使变换前后输入量与输出量之间的传递函数保持不变。表2-2 汇集了结构图等效变换的基本规则。
表2-2 结构图等效变换规则
变换方式 原结构图 等效结构图 等效运算关系 串联 C(s)?G1(s)G2(s)R(s) 并联 反馈 比较点前移 C(s)?[G1(s)?G2(s)]R(s) C(s)?G(s)R(s)1?G(s)H(s) C(s)?R(s)G(s)?Q(s) Q(s)?[R(s)?]G(s)G(s)C(s)?[R(s)?Q(s)]G(s) ?R(s)G(s)?Q(s)G(s) 比较点 后移 引出点前移 引出点后移 比较点与引出点之间的移动 C(s)?G(s)R(s) R(s)?R(s)G(s) 1G(s) C(s)?G(s)R(s)C(s)?R1(s)?R2(s) 13
第二章 13
2.5 控制系统的传递函数
具有扰动作用的闭环系统如图2-2所示，R(s)表示控制输入信号，N(s)表示干扰信号，C(s)代表系统的输出，E(s)代表误差信号。若将R(s)和N(s)分别看作系统的外作用，C(s)和E(s)看作系统的输出，图2-2的闭环系统就成为一个双输入、双输出系统，当两个输入量同时作用于线性系统时，可以分别考虑各外作用的影响，然后应用叠加原理，可得到闭环系统的总输出响应。
2.5.1 系统的开环传递函数
在图2-2中，将前向通路传递函数与反馈通路传递函数的乘积称为系统的开环传
图2-2 闭环系统结构图
递函数，用G(s)H(s)表示，它等于系统的反馈信号B(s)与偏差信号E(s)之比
G(s)H(s)=
B(s)?G1(s)G2(s)H(s) (2-4) E(s)
2.5.2 闭环系统的传递函数
⑴ 给定输入作用下的闭环传递函数
令N(s)?0，可求出系统输出C(s)对输入R(s)的闭环传递函数?(s)为
?(s)?G1(s)G2(s)C(s)?R(s)1?G1(s)G2(s)H(s)
（2-5）
⑵ 扰动输入作用下的闭环传递函数
令R(s)?0，可求得输出对扰动作用的传递函数
?n(s)?G2(s)C(s) ?N(s)1?G1(s)G2(s)H(s) （2-6）
⑶ 输入和扰动同时作用下系统的总输出
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第二章 13
根据线性系统的叠加原理，利用式（2-5）、式（2-6）可求得系统的总输出为
C(s)?G1(s)G2(s)R(s)G2(s)N(s)?1?G1(s)G2(s)H(s)1?G1(s)G2(s)H(s) （2-7）
2.5.3 闭环系统的误差传递函数
1.控制输入作用下的误差传递函数
令N(s)?0，可求出系统的误差传递函数
?e(s)?E(s)1 ?R(s)1?G1(s)G2(s)H(s) （2-8）
2.扰动输入作用下的误差传递函数
令R(s)?0，可求出误差对扰动作用的闭环传递函数，简称扰动误差传递函数
?ne(s)??G2(s)H(s)E(s) ?N(s)1?G1(s)G2(s)H(s) （2-9）
3. 控制输入和扰动同时作用下系统的总误差
利用式（2-8）、（2-9），可求出系统在控制输入和扰动输入同时作用下系统的总误差为
E(s)?
?G2(s)H(s)N(s)R(s)?1?G1(s)G2(s)H(s)1?G1(s)G2(s)H(s) （2-10）
例2-6 系统结构图如图2-15所示，求传递函数?(s)和?n(s)的表达式。
图2-15 系统结构图
此题计算过程中引用了未曾讲解的“信号流图”的知识，应改变解题方法。 例2-7 高层建筑采用风机盘管末端的空气调节系统的方框图：图2-16。
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第二章 13
外墙t内墙围护结构内表面平均 温度干扰人员变动，照明、设备余热变化外窗设定温度ti调节器风机盘管空调房间房间温度t0温度传感器 图2-16 风机盘管末端调节系统方框图
附录
拉普拉斯变换
A.1 拉氏变换的定义
函数f(x)的拉氏变换定义为
（A.1）
式中：S为复变量，S=σ+jω；σ为实变量；ω为虚变量。
L为一种运算符号，表示函数f（x）通过拉氏积分（A.1）的变换。 若函数f（x）满足一下条件，则它的拉氏变换就存在，即
，在δ>0时 (A.2)
通常，在电工和自动控制系统中的变量的时间函数都能满足这个条件。
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第二章 A.2 常用函数的拉氏变换
1.阶跃函数
这个阶跃函数在t=0时是不确定的，但是这没有关系，因为
f（t）的拉氏变换为
2.斜坡函数
式中A是一个常数，斜坡函数的拉氏变换是
3.正弦函数
式中A和ω是常数。正弦函数的拉氏变换为
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第二章 因为
因此
故所以
的拉氏变换可用类似方法求出。
A.3 拉氏变换定理
1.线性定理
若
，则
即函数之和的拉氏变换象函数等于各函数象函数之和。
若
，则
其中α为实数，即α倍函数的象函数等于函数象函数之α倍。
2.衰减函数
若
，则
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（A.3）
A.4）
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（ 第二章 13
其中α为实数。
（A.5）
3.延迟函数
若
，则
（A.6）
即若一个函数是另一个函数延时α后再现，如图A.1所示，则它的象函数是另一个函数象函数的
倍。
图A.1 f（x）与平移函数g（t）
4.时间尺度定理
若
，则
（A.7）
即若一个函数在时间上展宽（或压缩）α倍，则它的象函数在复平面上原点将收缩（或伸展）α倍。当α<1时，g（t）被展宽，如图A.2所示。当α>1时，
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g（t）将被压缩。
图A.2 α<0，g（t）被展宽
5.积分定理
若 =0时，
，则。当初始条件g（0）
（A.8）
6.微分定理
若
，则。
。当初始条件f（0）=0
时，
若
，则
（ A.9）
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当f（0）=0=0，，时，
（A.10） 7.初值定理
若函数f（t）在t=0处无脉冲分量，则函数的初值
（A.11） 8.终值定理
若函数F（s）在虚轴及右半平面没有极点，但极限存在，则原函数的终值
（A.12） 9.卷积定理
若函数当t<0时都等于零，则称积分
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为卷积，记作*。同样称积分
为卷积，记作*。
若与均满足狄里赫利条件，则卷积的拉氏变换等于两函数拉氏变
换之积，即
（A.13）
（A.14）
A.4 拉氏反变换
由拉氏变换的象函数F（s）求原函数f（t）的运算，称拉氏反变换，以符号L-1表示，即
拉氏反变换的计算公式为
（A.15）
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第二章 13
式中 c------实常数，且
c> i=1，2，
------F（s）的各个奇点的实部。
式（A.15）不便于工程应用。自动控制理论中遇到的象函数F（s）为s的有理分式，即
（A.16）
可将F（s）展开成部分分式之和，根据拉氏变换表A.1，逐项求出原函数，一般分以下几种情况。
1.F（s）中只含有单重实极点
可将F（s）展开成以下部分分式之和，即
（A.17）
式中 αi-----F（s）在极点-pi处的留数
（A.18）
部分分式的原函数为
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第二章 i=1,2,
（A.19）
F (s)的原函数为
i=1,2,,n （t
） （A.20）
2.F（s）中只含有共轭复极点
可将F（s）展开成下式：
（A.21）
式中
，
-----共轭复极点，即
令 s=
，有
（A.22）
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,n
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式（A.22）等式的两端均为复数，令等式两端的实部、虚部分别相等，可求得
。
由于
（A.23）
因此
（A.24）
其余各项的原函数可按第一种情况求得。
3.F（s）中包含有多重极点
设F（s）中包含有r重极点，即
（A.25）
可将F（s）展开成下式：
（A.26）
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式中
i=1，2，，r （A.27）
k=r+1，r+2，，n （A.28）
由于
（A.29）
因此
（t） （A.30）
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自动控制原理 第2章-电子素材
