分层训练(六十九) 绝对值不等式
1．已知|2x－3|≤1的解集为[m，n]． (1)求m＋n的值；
(2)若|x－a|＜m，求证：|x|＜|a|＋1.
[解] (1)由不等式|2x－3|≤1可化为－1≤2x－3≤1， 得1≤x≤2，3分
∴m＝1，n＝2，m＋n＝3.5分
(2)证明：若|x－a|＜1，则|x|＝|x－a＋a|≤|x－a|＋|a|＜|a|＋1.10分 2．若函数f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为5，求实数a的值． [解] 当a＝－1时，f(x)＝3|x＋1|≥0，不满足题意； ?－3x－1＋2a，x≤a，当a＜－1时，f(x)＝?
?x－1－2a，a＜x≤－1，
??3x＋1－2a，x＞－1，
f(x)min＝f(a)＝－3a－1＋2a＝5， 解得a＝－6；5分
?－3x－1＋2a，x≤－1，当a＞－1时，f(x)＝?
?－x＋1＋2a，－1＜x≤a，
??3x＋1－2a，x＞a，
f(x)min＝f(a)＝－a＋1＋2a＝5， 解得a＝4.9分
综上所述，实数a的值为－6或4.10分
3分7分
3．(2017·衡水中学调研)已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|. 导学号：312445 (1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围． [解] (1)当a＝－3时，
不等式f(x)≥3化为|x－3|＋|x－2|≥3.(*) 若x≤2时，由(*)式，得5－2x≥3，∴x≤1. 若2＜x＜3时，由(*)式知，解集为?. 若x≥3时，由(*)式，得2x－5≥3，∴x≥4. 综上可知，f(x)≥3的解集是{x|x≥4或x≤1}.4分 (2)原不等式等价于|x－4|－|x－2|≥|x＋a|，(**) 当1≤x≤2时，(**)式化为4－x－(2－x)≥|x＋a|， 解得－2－a≤x≤2－a.8分
由条件，[1,2]是f(x)≤|x－4|的解集的子集， ∴－2－a≤1且2≤2－a，则－3≤a≤0， 故满足条件的实数a的取值范围是[－3,0].10分
?1??1?4．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝?x－2?＋?x＋2?，M为不等式f(x)＜2的
????解集．
(1)求M；
(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|＜|1＋ab|.
[解]
??11
(1)f(x)＝?1，－2＜x＜2，1?2x，x≥?2.1
－2x，x≤－2，
1
当x≤－2时，由f(x)＜2得－2x＜2，解得x＞－1；
11
当－2＜x＜2时，f(x)＜2；
1
当x≥2时，由f(x)＜2得2x＜2，解得x＜1. 所以f(x)＜2的解集M＝{x|－1＜x＜1}.5分
(2)证明：由(1)知，当a，b∈M时，－1＜a＜1，－1＜b＜1，从而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)＜0.
因此|a＋b|＜|1＋ab|.10分
5．(2017·湖南长郡中学模拟)已知正实数a，b满足：a2＋b2＝2ab.
导学号：312446
11
(1)求a＋b的最小值m；
?1?(2)设函数f(x)＝|x－t|＋?x＋t?(t≠0)，对于(1)中求得的m是否存在实数x，
??m
使得f(x)＝2成立，说明理由．
[解] (1)∵2ab＝a2＋b2≥2ab， ∴ab≥ab(a＞0，b＞0)，则ab≤1. 112又a＋b≥≥2，
ab当且仅当a＝b时取等号， 11
∴a＋b的最小值m＝2.5分
?1???1???1??1?
(2)函数f(x)＝|x－t|＋?x＋t?≥??x＋t?－?x－t??＝?t＋t?＝|t|＋?t?≥2.
??????????m
对于(1)中的m＝2，2＝1＜2. ∴满足条件的实数x不存在.10分
6．(2017·郑州质检)已知函数f(x)＝|3x＋2|. (1)解不等式|x－1|＜f(x)；
高中数学选修4-5第1节课时分层训练_1
