【高中数学】高考数学《不等式》解析(1)
一、选择题
?x?1?0rrrr?1．设x，y满足?x?2y?0，向量a??2x,1?，b??1,m?y?，则满足a?b的实数m?2x?y?4?的最小值为（ ） A．
12 5B．?12 5C．
3 2D．?3 2【答案】B 【解析】 【分析】
先根据平面向量垂直的坐标表示，得m?y?2x，根据约束条件画出可行域，再利用m的几何意义求最值，只需求出直线m?y?2x过可行域内的点C时，从而得到m的最小值即可． 【详解】
rr解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为a??2x,1?，b??1,m?y?，
rr由a?b得2x?m?y?0，∴当直线经过点C时，m有最小值，
8?x???2x?y?4??84?5由?，得?，∴C?,?，
?55??x?2y?y?4?5?∴m?y?2x?故选：B.
41612???， 555【点睛】
本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属于中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．
2．已知二次函数f(x)?ax2?bx?c的导数为f'(x)，f'(0)?0，对于任意实数都有
f(x)?0，则
A．2 【答案】A 【解析】
f(1)的最小值为( ) f'(0)B．
5 2C．3 D．
3 2a?02Qf?x??0恒成立，?{,?4ac?b,且c?0,a?0 2??b?4ac?0又f??x??2ax?b,?f??0??b?0,f?1??a?b?c，
b22f?1?a?c2ac4?1?1?2 ??1??1??1?f??0?bbb当且仅当a?c时，不等式取等号，故f?1?的最小值为2 ?f?0?
3．在下列函数中，最小值是2的函数是（ ） A．f?x??x?C．f?x??【答案】D 【解析】 【分析】
根据均值不等式和双勾函数依次计算每个选项的最小值得到答案. 【详解】 A. f?x??x?B. y?cosx?C. f?x??1 x B．y?cosx?x1???0?x??? cosx?2?x2?4x2?3D．f?x??e?4?2 xe1，f??1???2?2，A错误； x1???0?x???，故cosx??0,1?，y?2，B错误； cosx?2?x2?4x2?3x?x2?3?1x2?3， x2?3?3，故f?x??43，C错误； 3D. f?x??e?故选：D. 【点睛】
44x?2?24?2?2e?，当，即x?ln2时等号成立，D正确. exex本题考查了均值不等式，双勾函数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.
4．给出下列五个命题，其中正确命题的个数为（ ）
2①命题“?x0?R，使得x0?x0?1?0”的否定是“?x?R，均有x2?x?1?0”；
②若正整数m和n满足m?n，则m?n?m??n； 2③在?ABC中 ，A?B是sinA?sinB的充要条件；
④一条光线经过点P?1,3?，射在直线l:x?y?1?0上，反射后穿过点Q?1,1?，则入射光线所在直线的方程为5x?3y?4?0；
⑤已知f(x)?x3?mx2?nx?k的三个零点分别为一椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率，则m?n?k为定值. A．2 【答案】C 【解析】 【分析】
①根据特称命题的否定的知识来判断；②根据基本不等式的知识来判断；③根据充要条件的知识来判断；④求得入射光线来判断；⑤利用抛物线的离心率判断. 【详解】
2①，命题“?x0?R，使得x0?x0?1?0”的否定是“?x?R，均有x2?x?1?0”，故①
B．3 C．4 D．5
错误.
②，由于正整数m和n满足m?n，n?m?0，由基本不等式得
m?n?m??m?n?mn?，当m?n?m即n?2m时等号成立，故②正确. 22③，在?ABC中，由正弦定理得A?B?a?b?sinA?sinB，即
A?B?sinA?sinB，所以A?B是sinA?sinB的充要条件，故③正确.
④，设Q?1,1?关于直线x?y?1?0的对称点为A?a,b?，则线段AQ中点为
?a?1b?1?2?2?1?0???a?1b?1?b?1,，则，解得a?b??2，所以A??2,?2?.所以入射光??1??2??2?kAQ?2?1a?1??1?2?y?3x?1?，化简得5x?3y?4?0.故④正确. ?2?3?2?1⑤，由于抛物线的离心率是1，所以f(1)?0，即1?m?n?k?0，所以m?n?k??1线为直线AP，即为定值，所以⑤正确. 故选：C 【点睛】
本小题主要考查特称命题的否定，考查基本不等式，考查充要条件，考查直线方程，考查椭圆、双曲线、抛物线的离心率，属于中档题.
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《不等式》分类汇编
