8.6.3 平面与平面垂直
第1课时 平面与平面垂直的判定定理
课后训练巩固提升
一、A组 1.从空间一点P向二面角α-l-β的两个面α,β分别作垂线PE,PF,E,F为垂足,若∠EPF=60°,则二面角的平面角的大小是( ) A.60° B.120° C.60°或120° D.不确定
解析:若点P在二面角内,则二面角的平面角为120°;若点P在二面角外,则二面角的平面角为60°. 答案:C 2.若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,则这两个二面角( ) A.相等 B.互补 C.不确定 D.相等或互补 解析:如图α,β,γ,两两互相垂直,
λ为过β,γ交线的动平面,显然γ⊥β且λ⊥α,但γ,λ的夹角无法确定.故选C. 答案:C 3.如图,在立体图形D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列说法中正确的是( )
A.平面ABC⊥平面ABD
B.平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDE C.平面ABD⊥平面BDC
D.平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE 解析:由条件得AC⊥DE,AC⊥BE, 又DE∩BE=E, ∴AC⊥平面BDE,
∵AC?平面ADC,AC?平面ABC,
∴平面ABC⊥平面BDE,平面ADC⊥平面BDE, 故选B. 答案:B 4.如图,在三棱锥P-ABC中,已知PC⊥BC,PC⊥AC,点E,F,G分别是所在棱的中点,则下面结论中错误的是( )
A.平面EFG∥平面PBC B.平面EFG⊥平面ABC
C.∠BPC是直线EF与直线PC所成的角
D.∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角 解析:A正确,∵GF∥PC,GE∥CB,GF∩GE=G,PC∩CB=C, ∴平面EFG∥平面PBC;
B正确,∵PC⊥BC,PC⊥AC,PC∥GF, ∴GF⊥BC,GF⊥AC,又BC∩AC=C,
∴GF⊥平面ABC,∴平面EFG⊥平面ABC; C正确,易知EF∥BP,
∴∠BPC是直线EF与直线PC所成的角; D错误,∵GE与AB不垂直,
∴∠FEG不是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角. 答案:D 5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1-BD-A的正切值为( ) A.
√3 2
B.
√2 2
C.√2 D.√3 解析:如图所示,连接AC交BD于点O,连接A1O,O为BD中点,
∵A1D=A1B,
∴在△A1BD中,A1O⊥BD.
又在正方形ABCD中,AC⊥BD,∴∠A1OA为二面角A1-BD-A的平面角. 设AA1=1,则AO=2.
√2∴tan∠A1OA=√2=√2.
2
1答案:C 6.如图,△ABC是直角三角形,∠ABC=90°,PA⊥平面ABC,则此图形中有 个直角三角形.
解析:∵PA⊥平面ABC,
∴PA⊥BC.
又AB⊥BC,PA∩AB=A,∴BC⊥平面APB. ∵PB?平面APB,
∴BC⊥PB,∴△PBC为直角三角形. 又PA⊥平面ABC,∴PA⊥AB,PA⊥AC, ∴△PAB与△PAC为直角三角形,
又△ABC为直角三角形,∴共4个直角三角形. 答案:4 7.已知P是△ABC所在平面外一点,△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形,PA=√6,则二面角P-BC-A的大小为 .
解析:取BC的中点O,连接OA,OP,则∠POA为二面角P-BC-A的平面角,OP=OA=√3,PA=√6,所以△POA为直角三角形,∠POA=90°.
答案:90°
8.正四面体的侧面与底面所成的二面角的余弦值是 .
解析:如图所示,设正四面体ABCD的棱长为1,顶点A在底面BCD上的射影为O,连接DO并延长交BC于点E,连接AE,则E为BC的中点,故AE⊥BC,DE⊥BC,
∴∠AEO为侧面ABC与底面BCD所成二面角的平面角.
在Rt△AEO中,AE=,EO=ED=×
3
3
√32
1
1
√32
=
????√3,∴cos∠AEO=6????
=.
3
1
答案: 319.如图所示,河堤斜面与水平面所成二面角为60°,堤面上有一条直道CD,它与堤角的水平线AB
的夹角为30°,沿这条直道从堤脚向上行走10 m时人升高了多少?(精确到0.1 m)
解:取CD上一点E,设CE=10m,过点E作直线AB所在的水平面的垂线EG,垂足为G,则线段EG的长就是所求的高度.
第8章立体几何初步8.6.3第1课时平面与平面垂直的判定定理巩固练习含解析
