一、函数的概念与基本初等函数多选题
?1?2x?3,1?x?2?1．已知函数f(x)??1?x?，则下列说法正确的是（ ）
f,x?2?2?2????A．若函数y?f(x)?kx有4个零点，则实数k的取值范围为??11?,? ?246?1*?0(n?N)有2n?4个不同的解 n2C．对于实数x?[1,??)，不等式2xf(x)?3?0恒成立
B．关于x的方程f(x)?D．当x?[2n?1,2n](n?N*)时，函数f(x)的图象与x轴围成的图形的面积为1 【答案】AC 【分析】
根据函数的表达式，作出函数的图像，对于A，C利用数形结合进行判断，对于B，D利用特值法进行判断. 【详解】 当1?x?33时，f(x)?2x?2；当 ?x?2时，f(x)?4?2x；
221?x?xx3?， f(x)?f????1；
2?2?222当2?x?3，则1?1?x?x3xf(x)?f?2?当3?x?4，则??2， ； ??2?2?222当4?x?6，则2?当6?x?8，则3?1x?3， f(x)?22?x?x1f????； ?2?421?x?xx?4，f(x)?f???1?；
2?2?42依次类推，作出函数f(x)的图像：
对于A，函数y?f(x)?kx有4个零点，即y?f(x)与y?kx有4个交点，如图，直线y?kx的斜率应该在直线m, n之间，又km?11?11?,?，故A正确； ，kn?，?k??624?246?对于B，当n?1时，f(x)?1有3个交点，与2n?4?6不符合，故B错误； 2对于C，对于实数x?[1,??)，不等式2xf(x)?3?0恒成立，即f(x)?知函数f(x)的每一个上顶点都在曲线y?3恒成立，由图2x33上，故f(x)?恒成立，故C正确； 2x2x对于D， 取n?1，x?[1,2]，此时函数f(x)的图像与x轴围成的图形的面积为
11?1?1?，故D错误； 22故选：AC 【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
??若函数的定义域为?a,b?，值域也为?a,b?，则称?a,b?为f?x?的“跟随区间”.下列结论正
确的是（ ）
A．若1,b为f?x??x?2x?2的跟随区间，则b?2
22．一般地，若函数f?x?的定义域为a,b，值域为ka,kb，则称为的“k倍跟随区间”；????B．函数f?x??1?1存在跟随区间 xC．若函数f?x??m?x?1存在跟随区间，则m???D．二次函数f?x???【答案】ABCD 【分析】
?1?,0? 4??12x?x存在“3倍跟随区间” 2根据“k倍跟随区间”的定义,分析函数在区间内的最值与取值范围逐个判断即可. 【详解】
对A, 若1,b为f?x??x?2x?2的跟随区间,因为f?x??x?2x?2在区间1,b为增
222函数,故其值域为??1,b?2b?2??,根据题意有b?2b?2?b,解得b?1或b?2,因为b?1????2故b?2.故A正确；
对B,因为函数f?x??1?11在区间???,0?与?0,+??上均为减函数,故若f?x??1?存xx?11?5?a?1+a?????b2,解得：?. 在跟随区间?a,b?则有?1?b?1+?b?1?5??a?2?故存在, B正确.
对C, 若函数f?x??m?x?1存在跟随区间a,b,因为f?x??m?x?1为减函数,故由
????b?m?a?1?a?b?a?1?b?1,a?b 跟随区间的定义可知???a?m?b?1即?a?b?易得0??a?1+b?1??a?1???b?1??a?b,因为a?b,所以a?1+b?1?1.
?a?1?b?1?1.
所以a?m?b?1?m?1?a?1,令t???a?1代入化简可得t2?t?m?0,同理
t?b?1也满足t2?t?m?0,即t2?t?m?0在区间?0,1?上有两根不相等的实数根.
?1?4m?0?1?,解得m???,0?,故C正确. 故??4???m?0对D,若f?x???12x?x存在“3倍跟随区间”,则可设定义域为?a,b?,值域为?3a,3b?.当212x?x在区间上单调递增,此时易得a,b为方程2a?b?1时,易得f?x???1?x2?x?3x的两根,求解得x?0或x??4.故存在定义域??4,0?,使得值域为??12,0?. 2故D正确. 故选：ABCD. 【点睛】
本题主要考查了函数新定义的问题,需要根据题意结合函数的性质分析函数的单调性与取最大值时的自变量值,并根据函数的解析式列式求解.属于难题.
3．已知函数f?x??eA．f?x?是偶函数 C．f?x?在区间???,?【答案】ABD 【分析】
去掉绝对值，由函数的奇偶性及周期性，对函数分段研究，利用导数再得到函数的单调
sinx?esinx，以下结论正确的是（ ）
B．f?x?最小值为2
????2??上单调递减
D．g?x??f?x??2?x的零点个数为5
云南省大理市新高考新题型——数学多选题专项练习及答案
