第3课时 导数与函数的综合问题
题型一 导数与不等式
命题点1 证明不等式
典例 (2017·贵阳模拟)已知函数f(x)＝1－(1)证明：g(x)≥1；
1
(2)证明：(x－ln x)f(x)>1－2. e证明 (1)由题意得g′(x)＝当0
即g(x)在(0,1)上是减少的，在(1，＋∞)上是增加的． 所以g(x)≥g(1)＝1，得证． (2)由f(x)＝1－
x－1
e
x，g(x)＝x－ln x.
x－1
(x>0)， xx－1
e
x，得f′(x)＝
x－2
e
x，
所以当0
所以f(x)≥f(2)＝1－2(当且仅当x＝2时取等号)．①
e又由(1)知x－ln x≥1(当且仅当x＝1时取等号)，② 且①②等号不同时取得， 1
所以(x－ln x)f(x)>1－2.
e命题点2 不等式恒成立或有解问题
1＋ln x典例 (2018·大同模拟)已知函数f(x)＝. x1??(1)若函数f(x)在区间?a，a＋?上存在极值，求正实数a的取值范围；
2??(2)如果当x≥1时，不等式f(x)≥
kx＋1
恒成立，求实数k的取值范围．
解 (1)函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝1－1－ln xln x＝－22，
xx令f′(x)＝0，得x＝1.
当x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)是增加的； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)是减少的． 所以x＝1为函数f(x)的极大值点，且是唯一极值点， 1
所以0 2 1?1?故 x?x＋1??1＋ln x?令g(x)＝(x≥1)， x则g′(x)＝ ?1＋ln x＋1＋1?x－?x＋1??1＋ln x? ?x?x－ln x?? x2 x＝x2 . 1 再令h(x)＝x－ln x(x≥1)，则h′(x)＝1－≥0， 所以h(x)≥h(1)＝1，所以g′(x)>0， 所以g(x)是增加的，所以g(x)≥g(1)＝2， 故k≤2，即实数k的取值范围是(－∞，2]． 引申探究 本例(2)中若改为：存在x∈[1，e]，使不等式f(x)≥?x＋1??1＋ln x? 解 当x∈[1，e]时，k≤有解， kx＋1 成立，求实数k的取值范围． x?x＋1??1＋ln x?令g(x)＝(x∈[1，e])，由例(2)解题知， xg(x)是增加的，所以g(x)max＝g(e)＝2＋， 2?2?所以k≤2＋，即实数k的取值范围是?－∞，2＋?. e?e?思维升华 (1)利用导数证明不等式的方法 证明f(x) ①首先要构造函数，利用导数求出最值，求出参数的取值范围． ②也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 跟踪训练 已知函数f(x)＝ax＋ln x，x∈[1，e]，若f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范 2 e 围． 解 ∵f(x)≤0，即ax＋ln x≤0对x∈[1，e]恒成立， ln x∴a≤－，x∈[1，e]． xln x令g(x)＝－，x∈[1，e]， xln x－1则g′(x)＝， 2 x∵x∈[1，e]，∴g′(x)≤0， ∴g(x)在[1，e]上是减少的， 1∴g(x)min＝g(e)＝－， e1 ∴a≤－. e 1??∴实数a的取值范围是?－∞，－?. e??题型二 利用导数研究函数的零点问题 2 典例 (2018·洛阳质检)已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝－x＋ax－3. (1)对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围； 12 (2)探讨函数F(x)＝ln x－x＋是否存在零点？若存在，求出函数F(x)的零点；若不存在， eex请说明理由． 解 (1)由对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立， 即有2xln x≥－x＋ax－3. 3 即a≤2ln x＋x＋恒成立， 2 x3 令h(x)＝2ln x＋x＋， x23x＋2x－3 则h′(x)＝＋1－2＝ 2 2 xxx?x＋3??x－1?＝， 2 x当x>1时，h′(x)>0，h(x)是增加的， 当0 即实数a的取值范围是(－∞，4]． 12 (2)令F(x)＝0，得ln x－x＋＝0， eexx2 即xln x＝x－(x>0)． ee 1?1?易求f(x)＝xln x(x>0)的最小值为f ??＝－， e?e? x21－x设φ(x)＝x－(x>0)，则φ′(x)＝x， eee 当x∈(0,1)时，φ′(x)>0，φ(x)是增加的； 当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)是减少的． 1 ∴φ(x)的最大值为φ(1)＝－， e x2 ∴对x∈(0，＋∞)，有xln x>x－恒成立， ee 即F(x)>0恒成立，∴函数F(x)无零点． 思维升华 利用导数研究方程的根(函数的零点)的策略 研究方程的根或曲线的交点个数问题，可构造函数，转化为研究函数的零点个数问题．可利用导数研究函数的极值、最值、单调性、变化趋势等，从而画出函数的大致图像，然后根据图像判断函数的零点个数． 跟踪训练 (1)(2017·贵阳联考)已知函数f(x)的定义域为[－1,4]，部分对应值如下表： x f(x) －1 1 0 2 2 0 3 2 4 0 f(x)的导函数y＝f′(x)的图像如图所示．当1 ( ) A．1 B．2 C．3 D．4 答案 D 解析 根据导函数图像知，2是函数的极小值点，函数y＝f(x)的大致图像如图所示． 由于f(0)＝f(3)＝2,1 (2)已知函数f(x)＝ax－3x＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则实数a的取值范围是__________． 答案 (－∞，－2) 解析 当a＝0时，f(x)＝－3x＋1有两个零点，不合题意，故a≠0，f′(x)＝3ax－6x＝3x(ax－2)， 2 令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝. 2 2 3 2 a若a>0，由三次函数图像知f(x)有负数零点，不合题意，故a<0. ?2?由三次函数图像及f(0)＝1>0知，f??>0， a?? ?2?3?2?22 即a×??－3×??＋1>0，化简得a－4>0， ?a? ?a? 又a<0，所以a<－2. 题型三 利用导数研究生活中的优化问题 典例 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ ＋10(x－6)，其中3 x－3 a2 元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a的值； (2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大． 解 (1)因为当x＝5时，y＝11， 所以＋10＝11，解得a＝2. 2 (2)由(1)可知，该商品每日的销售量为 2 y＝＋10(x－6). x－3 a2 所以商场每日销售该商品所获得的利润为
2019届高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 第3课时 导数与函数的综合应用学案 文 北师大版
