第5章 狭义相对论 习题及答案
1. 牛顿力学的时空观与相对论的时空观的根本区别是什么？二者有何联系？
答：牛顿力学的时空观认为自然界存在着与物质运动无关的绝对空间和时间，这种空间和时间是彼此孤立的；狭义相对论的时空观认为自然界时间和空间的量度具有相对性，时间和空间的概念具有不可分割性，而且它们都与物质运动密切相关。在远小于光速的低速情况下，狭义相对论的时空观与牛顿力学的时空观趋于一致。 2. 狭义相对论的两个基本原理是什么？ 答：狭义相对论的两个基本原理是：
（1）相对性原理 在所有惯性系中，物理定律都具有相同形式；（2）光速不变原理 在所有惯性系中，光在真空中的传播速度均为c,与光源运动与否无关。
3．你是否认为在相对论中，一切都是相对的？有没有绝对性的方面？有那些方面？举例说明。 解 在相对论中，不是一切都是相对的，也有绝对性存在的方面。如，光相对于所有惯性系其速率是不变的，即是绝对的；又如，力学规律，如动量守恒定律、能量守恒定律等在所有惯性系中都是成立的，即相对于不同的惯性系力学规律不会有所不同，此也是绝对的；还有，对同时同地的两事件同时具有绝对性等。
4．设S'系相对S系以速度u沿着x正方向运动，今有两事件对S系来说是同时发生的，问在以下两种情况中，它们对S'系是否同时发生？
（1）两事件发生于S系的同一地点； （2）两事件发生于S系的不同地点。
v?x)知，第一种情况，?x?0，?t?0，故S'系中?t??0，2c即两事件同时发生；第二种情况，?x?0，?t?0，故S'系中?t??0，两事件不同时发生。
5-5 飞船A中的观察者测得飞船B正以0.4c的速率尾随而来，一地面站测得飞船A的速率为0.5c，求：
解 由洛伦兹变化?t???(?t?（1）地面站测得飞船B的速率； （2）飞船B测得飞船A的速率。 解 选地面为S系，飞船A为S?系。
（1）vx'?0.4c,u?0.5c，vx?vx'?u3?c v1?2vx'4c （2）vBA??vAB??vx'??0.4c
5.6 惯性系S′相对另一惯性系S沿x轴作匀速直线运动，取两坐标原点重合时刻作为计时起点．在S系中测得两事件的时空坐标分别为x1=6×10m,t1=2×10s，以及x2=12×10m,t2=1×
4
-4
4
10s．已知在S′系中测得该两事件同时发生．试问： (1)S′系相对S系的速度是多少?
(2) S?系中测得的两事件的空间间隔是多少? 解: 设(S?)相对S的速度为v，
-4
???(t1?(1) t1vx1) c2 1
???(t2?t2??t1??0 由题意 t2则 t2?t1?故 v?c2vx2) c2v(x2?x1) 2ct2?t1c????1.5?108m?s?1
x2?x12???(x1?vt1),x2???(x2?vt2) (2)由洛仑兹变换 x1??x1??5.2?10m 代入数值， x25-7 一门宽为a，今有一固有长度l0(l0＞a)的水平细杆，在门外贴近门的平面内沿其长度方向匀速运动．若站在门外的观察者认为此杆的两端可同时被拉进此门，则该杆相对于门的运动速率
u至少为多少?
4解: 门外观测者测得杆长为运动长度，l?l01?()，当l?a时，可认为能被拉进门，则
uc2ul01?()2?a
c解得杆的运动速率至少为： u?c1?(a2) l02
5-8 在S系中有一静止的正方形，其面积为100m，观察者S?以0.8c的速度沿正方形的对角线运动，S?测得的该面积是多少？
解 设正方形在S系中每边长为L, 其对角线长为2L，因为相对运动，沿着运动方向的对角线缩短，垂直于运动方向的对角线长度不变。固在S?系观测的面积为
S?L?L?L2(1?v2c2)?60m2
5-9 观测者A测得与他相对静止的x-y平面上某圆面积为12cm，另一观察者B相对于A以0.8c的速率平行于x-y平面做匀速圆周运动，则B测得这一图形的面积是多少？（答案：7.2cm2） 解: 将静系S固联于观测者A所在的xoy平面，动系S?固联于观测者B上，在观测的时刻t，令S和S?系的x(x?)重合。则在动系上观测，圆的直径在运动方向收缩，在垂直于运动方向的直径不变，因此，观测者A观测的圆，B测得为一椭圆。该椭圆的长轴为 a?d/2
21u23短轴为 b?d1?2?d
2c10
2
面积为 S??ab???(d/2)?由题意 ?()?12?10 由此得到 S?33d??d2 1020d22?433?d2??4?12?10?4?7.2?10?4m2?7.2(cm)2 20205-10 一宇航员要到离地球为5光年的星球去旅行．如果宇航员希望把这路程缩短为3光年，则
他所乘的火箭相对于地球的速度是多少? 解: 因为 l??l01??2
3?51??2
3?1??2 594c?c 255
8∴ v?1??85-11 某种介子静止时的寿命是10s。如它在实验室中的速率为2?10ms，在它的一生中
能飞行多少米？
解：介子静止时的寿命是固有时间，由于它相对于实验室运动，从而实验室观测的寿命是非固有时间。
在实验室观测的介子寿命为：
3?10?8???1.342s ??2825u(2?10)1?21?c(3?108)2?010?8 所以介子一生中能飞行距离为：
?s?c??2.68m
5-12 两个惯性系中的观察者O和O?以0.6c(c表示真空中光速)的相对速度相互接近，如果O测得两者的初始距离是20m，则O?测得两者经过多少时间相遇?
解 O?测得的是固有时间?t?，O测得相遇时间为?t，又
?t?所以O? 测得的固有时间?t?为
L020? v0.6cL01??2∴ ?t?? ??v?t20?0.8?8.89?10?8s，
0.6c此题也可用长度收缩效应来解。O测得长度为固有长度，O?测得长度为非固有长度，设用L表
?示，则
3
L?L01??2?L01?0.62?0.8L0,
由?t??L 有 v?t??0.8L00.8?20?8??8.89?10s 80.6c0.6?3.0?10
5-13 一米尺静止在S'系中，长度为l0，并与X'轴成30角。若在S系中测得该米尺与X轴成
45角，则S'相对于S系的速度为多大？S系中测得该米尺的长度是多少？
解：在S中观察，米尺在运动方向（X轴方向）长度收缩，在Y轴方向长度不变，因此 l1?u2u2x?l0xcl02?0cos301?c2 l0y?l0y?l0sin30 由题意：
lyl?tg450
x 所以 tg450＝tg3002
1?uc2 解之得S'相对于S系的速度为： u=0.816cu?0.816c(m/s) S系中测得该米尺的长度为： l?l22x?ly?0.707l0m
5-14 (1)如果将电子由静止加速到速率为0.1c，须对它作多少功?
(2)如果将电子由速率为0.8c加速到0.9c，又须对它作多少功? 解: (1)对电子作的功，等于电子动能的增量，得
?Ek?Ek?0?mc2?m0c2?m20c(??1)?m0c2(12?1)
1?vc2?9.1?10?31?(3?108)2(11?0.12?1)
?4.12?10?16J=2.57?103eV
(2) 同理
?E??E2k?Ek?(m2c2?m0c)?(m22k211c?m0c) 4
?m2c2?m1c2?m0c2(11?vc222?11??vc212))
?9.1?10?31?32?1016(11?0.9211?0.82)
?5.14?10?14J?3.21?105eV
5-15 两飞船，在自己的静止参考系中侧的各自的长度均为l0m，飞船甲上仪器测得飞船甲的前端驶完飞船乙的全长需?ts，求两飞船的相对运动速度。
解 由运动的相对性可知，乙船全长驶过甲船前端所需要时间为?ts，l0m是固有长度，由甲
u2船上来观测，乙船的长度收缩为l?l01?2，u 即为两飞船的相对运动速度，由题意有：
cu2l?l01?2?u?t
cu222所以 l(1?2)?u?t
c20由此得到： u?l0?t2?lc202
5-16 一物体的速度使其质量增加了10%，试问此物体在运动方向上缩短了百分之几? 解: 设静止质量为m0，运动质量为m， 由题设
m?m0?0.10 m0而 m?m01??2
由此二式得
11??2?1?0.10
2∴ 1???1 1.10设物体在运动方向上的长度和静长分别为l和l0，则相对收缩量为：
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