第一章 函数与导数 专题02 曲线的切线问题探究
【压轴综述】
纵观近几年的高考命题，对曲线的切线问题的考查，主要与导数相结合，涉及切线的斜率、倾斜角、切线方程等问题，题目的难度有难有易.利用导数的几何意义解题，主要题目类型有求切线方程、求切点坐标、求参数值（范围）等.与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略有： 1.已知斜率求切点．已知斜率k，求切点x1,f?x1?，即解方程f??x??k.
2.求切线方程：注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.即注意两个“说法”：求曲线在点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程，在点P处的切线，一定是以点P为切点，过点P的切线，不论点P在不在曲线上，点P不一定是切点．
（1）已知切点求切线方程：①求出函数y?f?x?在点x?x0处的导数，即曲线y?f?x?在点x0,f?x0?处切线的斜率；②由点斜式求得切线方程为y?y0?f??x0??x?x0?． （2）求过点P的曲线的切线方程的步骤为： 第一步，设出切点坐标P′(x1，f(x1))；
第二步，写出过P′(x1，f(x1))的切线方程为y-f(x1)＝f′(x1)(x-x1)； 第三步，将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出x1；
第四步，将x1的值代入方程y-f(x1)＝f′(x1)(x-x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．
3.求切线倾斜角的取值范围．先求导数的范围，即确定切线斜率的范围，然后利用正切函数的单调性解决． 4.根据导数的几何意义求参数的值（范围）时，一般是利用切点P(x0，y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．
5.已知两条曲线有公切线，求参数值（范围）. 6.导数几何意义相关的综合问题．
????【压轴典例】
例1.（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是____. 【答案】(e, 1). 【解析】
1
设点A?x0,y0?，则y0?lnx0.又y??当x?x0时，y??1， x1， x01(x?x0)， x0点A在曲线y?lnx上的切线为y?y0?即y?lnx0?x?1， x0?e?1， x0代入点??e,?1?，得?1?lnx0?即x0lnx0?e，
考查函数H?x??xlnx，当x??0,1?时，H?x??0，当x??1,???时，H?x??0， 且H'?x??lnx?1，当x?1时，H'?x??0,H?x?单调递增，
注意到H?e??e，故x0lnx0?e存在唯一的实数根x0?e，此时y0?1， 故点A的坐标为A?e,1?.
例2.（2019·全国高考真题（理）） 已知函数f?x??lnx?x?1x?1.
（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；
（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=ln x 在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线y?e的切线. 【答案】（1）函数f(x)在(0,1)和(1,??)上是单调增函数，证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】
（1）函数f(x)的定义域为(0,1)?(1,??)，
xx?1x2?1f(x)的定义域为(0,1)?(1,??)，所以f?(x)?0，因f(x)?lnx??f?(x)?2，因为函数
x?1x(x?1)此函数f(x)在(0,1)和(1,??)上是单调增函数；
2
1?111e2??0，显然当x?(0,1)，函数f(x)有零当x?(0,1)，时，x?0,y???，而f()?ln?1ee?1e?1e点，而函数f(x)在x?(0,1)上单调递增，故当x?(0,1)时，函数f(x)有唯一的零点；
e?1?2e2?1e2?322当x?(1,??)时，f(e)?lne???0,f(e)?lne?2?2?0，
e?1e?1e?1e?122因为f(e)?f(e)?0，所以函数f(x)在(e,e)必有一零点，而函数f(x)在(1,??)上是单调递增，故当
x?(1,??)时，函数f(x)有唯一的零点
综上所述，函数f(x)的定义域(0,1)?(1,??)内有2个零点； （2）因为x0是f(x)的一个零点，所以f(x0)?lnx0?x0?1x?1?0?lnx0?0 x0?1x0?1y?lnx?y??11k?y?lnx，所以曲线在A(x0,lnx0)处的切线l的斜率，故曲线y?lnx在
x0xx?11x2(x?x0)而lnx0?0y??，所以l的方程为，x0x0x0?1x0?1A(x0,lnx0)处的切线l的方程为：y?lnx0?2它在纵轴的截距为.
x0?1xxx设曲线y?e的切点为B(x1,e1)，过切点为B(x1,e1)切线l'，y?e?y??e，所以在B(x1,e1)处的切
xxxxx线l'的斜率为ex1，因此切线l'的方程为y?e1x?e1(1?x1)，
x当切线l'的斜率k1?e1等于直线l的斜率k?
11x1?x1??(lnx0)， 时，即e?x0x0(1?lnx0)?x?11(1?lnx0)，而lnx0?0，所以x0x0?11切线l'在纵轴的截距为b1?e(1?x1)?ex?lnx0b1?x?112''(1?0)?，直线l,l的斜率相等，在纵轴上的截距也相等，因此直线l,l重合，故曲线
x0x0?1x0?1y?lnx在A(x0,lnx0)处的切线也是曲线y?ex的切线.
例3. （2019·湖北高考模拟（理））已知函数f(x)?x?ax?1，g(x)?lnx?a(a?R).
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2020年高考数学之冲破压轴题讲与练 专题02《 曲线的切线问题探究》【解析版】
