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专题一 柯西不等式的应用
利用柯西不等式证明其他不等式或求最值，关键是构造两组数，并向着柯西不等式的形式进行转化．
应用1已知实数a，b，c，d，e满足a＋b＋c＋d＋e＝8，a2＋b2＋c2＋d2＋e2＝16，求e的取值范围．
提示：由a2＋b2＋c2＋d2＋e2联想到应用柯西不等式．
解：∵4(a2＋b2＋c2＋d2)＝(1＋1＋1＋1)(a2＋b2＋c2＋d2)≥(a＋b＋c＋d)2， 即4(16－e2)≥(8－e)2,64－4e2≥64－16e＋e2， 16即5e2－16e≤0，∴e(5e－16)≤0，∴0≤e≤.
5160，?. 即e的取值范围是?5??
应用2若n是不小于2的正整数，试证： 4111112
＜1－＋－＋…＋－＜. 72342n－12n2
提示：注意中间的一列数的代数和，其奇数项为正，偶数项为负，可进行恒等变形予以化简．
11111证明：1－＋－＋…＋－
2342n－12n111111
1＋＋＋…＋?－2?＋＋…＋? ＝?2n??242n??23＝
111
＋＋…＋，
2nn＋1n＋2
41212
所以求证式等价于＜＋＋…＋＜.
7n＋1n＋22n2由柯西不等式，有
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?1＋1＋…＋1?[(n＋1)＋(n＋2)＋…＋2n]＞n2，
2n??n＋1n＋2
于是，
111
＋＋…＋ 2nn＋1n＋2
n22n2
＞＝＝ 1(n＋1)＋(n＋2)＋…＋2n3n＋1
3＋n≥
4＝， 173＋2
111＋＋…＋＜
2nn＋1n＋2
2
又由柯西不等式，有
111
(12＋12＋…＋12)?(n＋1)2＋(n＋2)2＋…＋(2n)2?
??
≤
11?2－＝. n??n2n?2
综上，原不等式成立． 专题二 排序不等式的应用
应用排序不等式可以简捷地证明一类不等式，其证明的关键是找出两组有序数组，通常可以从函数单调性去寻找．
πaA＋bB＋cCπ
应用在△ABC中，试证：≤＜. 32a＋b＋c
提示：可构造△ABC的边和角的序列，应用排序不等式来证明． 证明：不妨设a≤b≤c，于是A≤B≤C，由排序不等式，得： aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC， aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC， aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC.
aA＋bB＋cCπ
相加，得3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)(A＋B＋C)＝π(a＋b＋c)，得≥，①
3a＋b＋c又由0＜b＋c－a,0＜a＋b－c,0＜a＋c－b， 有0＜A(b＋c－a)＋C(a＋b－c)＋B(a＋c－b) ＝a(B＋C－A)＋b(A＋C－B)＋c(A＋B－C) ＝a(π－2A)＋b(π－2B)＋c(π－2C) ＝(a＋b＋c)π－2(aA＋bB＋cC)， 得
aA＋bB＋cCπ
＜.② 2a＋b＋c
由①②得原不等式成立． 专题三 利用不等式解决最值问题
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利用不等式解决最值问题，尤其是含多个变量的问题，是一种常用方法．特别是条件最值问题，通常运用平均值不等式、柯西不等式、排序不等式及幂平均不等式等，但要注意取等号的条件能否满足．
应用设a，b，c为正实数，且a＋2b＋3c＝13，求3a＋2b＋c的最大值． 解：根据柯西不等式，知 1?2???22
(a＋2b＋3c)(3)＋1＋
??3??≥?3·a＋1·2b＋?
1
·3c?2＝(3a＋2b＋c)2， 3?132
， 3
∴(3a＋2b＋c)2≤133
则3a＋2b＋c≤，
3当且仅当
a2b3c＝＝时取等号．
113
3
31
又a＋2b＋3c＝13，∴a＝9，b＝，c＝时，
231333a＋2b＋c有最大值. 3专题四 利用柯西不等式解决实际问题
数学知识服务于生活实践始终是数学教学的中心问题，利用柯西不等式解决实际问题，关键是从实际情景中构造出这类不等式的模型．
应用如图，等腰直角三角形AOB的直角边长为1.
在此三角形中任取点P，过P分别引三边的平行线，与各边围成以P为顶点的三个三角形(图中阴影部分)，求这三个三角形的面积和的最小值，以及达到最小值时P的位置．
解：分别取OA，OB为x轴、y轴，则AB的方程为x＋y＝1，
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人教版数学高二A版选修4-5单元整合第三讲柯西不等式与排序不等式
