数学文化专项习题集
110题
一、数学文化与阅读 ................................................................................................................................ 2 二、数学文化与函数 ................................................................................................................................ 6 三、数学文化与数列 ................................................................................................................................ 8 四、数学文化与新定义 ......................................................................................................................... 14 五、数学文化与三角函数 .................................................................................................................... 17 六、数学文化与立体几何 .................................................................................................................... 20 七、数学文化与概率统计 .................................................................................................................... 27 八、数学文化与排列组合 .................................................................................................................... 32 九、数学文化与解析几何 .................................................................................................................... 33
一、数学文化与阅读
例1. 在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中,用如图1所示的三角形,解释二项和的乘方规律.在欧洲直到1623年以后,法国数学家布莱士·帕斯卡的著作(1655年)介绍了这个三角形.近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国,所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinese triangle).17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”如图2.在杨
??+1????+1辉三角中相邻两行满足关系式:C??+C??=C??+1,其中n是行数,r∈N.请类比上式,在莱布尼
茨三角形中相邻两行满足的关系式是 .
图1 图2
例2. 在数学中，泰勒级数用无限项连加式——级数来表示一个函数，包括正弦，余弦，正切三角函数等等，其中泰勒级数是以于1715年发表了泰勒公式的英国数学家布鲁克?泰勒（Sir Brook Taylor）的名字来命名的.1715年，泰勒提出了一个常用的方法来构建这一系列级数并适用于所有函数，这就是后来被人们所熟知的泰勒级数，并建立了如下指数函数公xnx0x1x2x3式：e???????0!1!2!3!n?0n!x?xn，其中x?R，n?N*，n!?1?2?3?4??n!?n，
例如：0!?1，1!?1，2!?2，3!?6.试用上述公式估计（ ） A．1.601
B．1.642
e12的近似值为（精确到0.001）
C．1.648 D．1.647
例3. “克拉茨猜想”又称“3n?1猜想”，是德国数学家洛萨·克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想:任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半；如果n是奇数，就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1.已知正整数n经过7次运算后首次得到1，则n的所有不同取值的集合为____________.
例4. 大约在20世纪30年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数n，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，这样反复运算，最后结
果必然是1.这个题目在东方被称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性的证明.例如取n?13，则要想算出结果1，共需要经过的运算步数是（ ） A．9
例5. 中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、方位……用纵式表示，十位、千位、十万位……用横式表示，则56846可用算筹表示为（ ）
B．10
C．11
D．12
A． B．
C．
D．
例6. 用“算筹”表示数是我国古代计数方法之一，计数形式有纵式和横式两种，如图1所示.金元时期的数学家李冶在《测圆海镜》中记载：用“天元术”列方程，就是用算筹来表示方程中各项的系数.所谓“天元术”，即是一种用数学符号列方程的方法，“立天元一为某某”，意即“设x为某某”.如图2所示的天元式表示方程a0xn?a1xn?1?????an?1x?an?0，其中a0，a1，…，an?1，an表示方程各项的系数，均为筹算数码，在常数项旁边记一“太”字或在一
次项旁边记一“元”字，“太”或“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂.
数学文化习题集 试题版
