内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积公式”为S＝
1?22?a2＋c2－b2?2??ac－???.若a2sinC＝24sinA，a(sinC－sinB)(c＋b)4?2???
＝(27－a2)sinA，则用“三斜求积公式”求得的S＝ ( )
3165155A.4 B.4 156157C.4 D.4 解析：由a2sinC＝24sinA，可得a2c＝24a，∴ac＝24， 由a(sinC－sinB)(c＋b)＝(27－a2)sinA， 可得a(c－b)(c＋b)＝(27－a2)a， 整理得a2＋c2－b2＝27， 结合三角形面积公式可得 S＝ ＝
22???21??22?a＋c－b?2?
ac－??? 4?2????
1?2?27?2?157????
4?24－?2??＝4.本题选择D选项．
答案：D
11．甲船在岛B的正南A处，AB＝10 km，甲船以4 km/h的速度向正北航行，同时乙船自岛B出发以6 km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们的航行时间是( )
15015A.7 min B.7 h C．21.5 min D．2.15 h
图1
解析：根据题意可作出如下所示的示意图，设两船航行t小时后，甲船位于C点，乙船位于D点，如图1.则BC＝10－4t，BD＝6t，∠CBD＝120°，此时两船间的距离最近，根据余弦定理得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BDcos∠CBD＝(10－4t)2＋36t2＋6t(10－4t)＝28t2－20t＋100，所以当t51502＝14时，CD取得最小值，即两船间的距离最近，所以它们的航行时间是7 min，故选A.
答案：A
12．(2019年湖北省天门、仙桃、潜江高三联考)在△ABC中，角A，
?π?2B，C的边分别为a，b，c，已知cosB＝2，△ABC的面积为9，且tan?＋A?
?4?
＝2，则边长a的值为 ( )
A．3 B．6 C．4 D．2
?π?1＋tanA1?
解析：tan?＋A?＝＝2，解得tanA＝， ?3?4?1－tanA
sinA1??cosA＝3，10310由?得sinA＝10，cosA＝10， ??sin2A＋cos2A＝1，25则sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝5，
ac
由sinA＝sinC，得c＝22a，
1
再由S△ABC＝2acsinB＝9，得ac＝182， 所以22a2＝182，故a＝3，选A. 答案：A 二、填空题
13．(2019年东北三省三校联考)△ABC中，BC＝2，AB＝2AC，则△ABC面积的最大值为________．
解析：设AC＝x，则AB＝2x，根据面积公式得 11
S△ABC＝2AC·BC·sinC＝2·x·2sinC＝xsinC， 4－x2
∵由余弦定理得cosC＝4x， ∴S△ABC＝x
1－cos2C＝x
16＋x4－8x21－ 16x21
＝4－（x2－12）2＋128.
由三角形三边关系有x＋2x＞2且x＋2＞2x， 解得22－2＜x＜22＋2.
∴当x＝23时，S△ABC取最大值22. 答案：22
14．(2019年福建省泉州市高三下学期质量检查)在平面四边形ABCD中，∠ABC＝120°，AC＝219，2AB＝3BC，AD＝2BD，△BCD的面积为23，则AD＝________．
解析：不妨设AB＝3x，则BC＝2x，
4x2＋9x2－761
cos120°＝＝－2，解得x＝2，
2×2x×3x∴AB＝6，BC＝4，
∵AD＝2BD，∴可设BD＝t，AD＝2t， 1
S△BCD＝23，即2×4×BD×sin∠DBC＝23， 3
∴sin∠DBC＝t，
∴cos∠ABD＝cos(120°－∠DBC) 13
＝－2cos∠DBC＋2sin∠DBC 1＝－2 22
333t＋36－4t1－t2＋2×t＝， 12t
解得t＝23，则AD＝2t＝43. 答案：43
15．(2019年重庆市第八中学高一模拟考试)在△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，若B＝3，b＝23，则2a＋c的最大值为________．
ac23
解析：由sinA＝sinC＝＝4，
sin60°得a＝4sinA，c＝4sinC，
∴2a＋c＝8sinA＋4sinC＝8sinA＋4sin(120°－A) ＝10sinA＋23cosA＝47sin(A＋φ)， ∴2a＋c的最大值是47. 故答案为47.
π答案：47
16．(2019年四川省德阳市高三二诊考试)已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a＝6，4sinB＝5sinC，有以下四个命题：
①△ABC的面积的最大值为40；
②满足条件的△ABC不可能是直角三角形； ③当A＝2C时，△ABC的周长为15；
④当A＝2C时，若O是△ABC的内心，则△AOB的面积为7. 其中正确命题有__________(填写出所有正确命题的序号)．
62＋b2－c2
解析：①由题知a＝6，4b＝5c，由余弦定理得cosC＝＝
2×6×b92
36＋25b
33
12b＝b＋100b≥2
33333bb·100b＝5，当且仅当b＝100，即b＝10，c＝8
414
时取等号，此时sinC≤5，S△ABC≤2×6×10×5＝24.△ABC的面积的最大值为24，①不正确；
?5?252
②由题知b＝4c，假设△ABC是直角三角形，则b＝?4c?＝c2＋62，
??
解得a＝6，b＝10，c＝8，故△ABC可能是直角三角形，②不正确；
acac
③当A＝2C时，由正弦定理sinA＝sinC?sin2C＝sinC?ccosC＝3，结
?5?255222??c合b＝4c，由余弦定理可得c＝b＋a－2abcosC＝4＋36－2×6×4c×??
cosC，∴c＝4，b＝5，△ABC的周长为15，③正确；
④当A＝2C时，c＝4，b＝5，a＝6，若O为△ABC的内心，则设ABC3711的内接圆半径为r，由ccosC＝3，可得cosC＝4，sinC＝4，故2absinC＝2
2021高考理科数学一轮总复习课标通用版作业：第4章 三角函数、解三角形 课时作业22
