课时作业22 解三角形
一、选择题
1．(2019年广东省揭阳市第三中学高二模拟考试)在△ABC中，a＝3，b＝7，c＝2，那么角B等于 ( )
A．30° B．45° C．60° D．120°
a2＋c2－b232＋22－71解析：根据余弦定理得cosB＝2ac＝＝，
2×3×22∵0°＜B＜180°，∴∠B＝60°，故选C. 答案：C
2．(2019年江西省赣州市十四县(市)高一联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝2ccosA，则这个三角形一定是 ( )
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
解析：b＝2ccosA，由正弦定理可得sinB＝2sinCcosA，所以sin(A＋C)＝2sinCcosA，可得sin(A－C)＝0.
又－π＜A－C＜π，所以A－C＝0. 故△ABC的形状是等腰三角形，故选C. 答案：C
3．(2019年湖北省武汉市高中毕业生调研测试)在△ABC中，AB＝1，BC＝2，则角C的取值范围是 ( )
??ππ?π?
A.?0，? B.?，?
6?2???4?ππ??ππ?
C.?，? D.?，?
2?2??6?6
ABBC11
解析：sinC＝sinA，所以sinC＝2sinA，所以0＜sinC≤2，因AB＜BC，
?π??
C必定为锐角，故C∈?0，?. ?6??
答案：A
4．(2019年河南省平顶山高二第一调研考试)设△ABC的内角A、B、π
C的对边分别为a、b、c，若A＝3，a＝3，b＝1，则c＝ ( )
A．1 B．2 C.3－1 D.3
ab
解析：由正弦定理sinA＝sinB， b131
得sinB＝asinA＝×2＝2，
3ππ
又a＞b，所以B＝6，所以∠C＝2， 所以在直角△ABC中，c＝答案：B
5．(2019年江西省赣州市十四县(市)高一联考)已知点O是△ABC的重→＋bOB→＋23cOC→心，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且2aOA3＝0，则sinA∶sinB∶sinC＝ ( )
A．1∶2∶3 B．1∶2∶3 2323
C．2∶1∶3 D.3∶2∶1 解析：∵点O是△ABC的重心， →＋OB→＋OC→＝0， ∴OA
a2＋b2＝2，故选B.
23→→→又∵2a·OA＋b·OB＋3c·OC＝0， 23
∴可设2a＝x，b＝x，3c＝x(x＞0)， x3x
∴a＝2，b＝x，c＝2(x＞0)， x23x2
2
a2＋b2－c24＋x－41
∴cosC＝2ab＝＝2， x
2·2·x
31
∴sinC＝2，同理可得：sinA＝2，sinB＝1.故选A. 答案：A
6．(2019年山东省烟台市高三下学期高考诊断性测试)已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若b＝1，c＝3，且asinBcosC1
＋csinBcosA＝2，则a＝ ( )
A．1或2 B．1或3 C．1或2 D.2或3
1
解析：由asinBcosC＋csinBcosA＝2，得sinB(acosC＋ccosA)＝bsinB
π11
＝2，又b＝1，所以sinB＝2，又c＞b，所以B角一定是锐角，所以B＝6.π2πππ33
再由＝sinC，得sinC＝2，C＝3或C＝3.当C＝3时，A＝2，a＝2；
πsin6
1
2π当C＝3时，△ABC为等腰三角形，a＝1，故选C.
答案：C
7．(2019年山东省枣庄市高三第二次模拟考试)已知△ABC的内角A，
B，C的对边分别为a，b，c，若(a＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，则A＝ ( )
A.6 B.3 5π2πC.6 D.3
解析：(a＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC， 利用正弦定理化简得(a＋b)(a－b)＝c(c－b)， 即b2＋c2－a2＝bc，
πππ1
∴cosA＝2，∴A＝3，故选B.
答案：B
8．(2019年湖北省部分重点中学高一模拟考试)已知△ABC中，a＝6，b＝8，c＝10，则其内切圆半径与外接圆半径分别等于 ( )
A．2，5 B．2，53 C．23，5 D．23，53
解析：因为a＝6，b＝8，c＝10，所以△ABC为直角三角形，其内切6＋8－1010
圆半径为＝2，外接圆半径为22＝5.选A.
答案：A
9．(2019年重庆市第八中学高一模拟考试)锐角△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，若a2＋b2＝5c2，则cosC的取值范围为 ( )
?422??122?
? B.?，? A.?，5323?????4?1?6?
C.?，? D.?2，1?
3????5
a2＋b2－c2
解析：由题得cosC＝＝2ab4×2ab4
10ab＝5(当且仅当a＝b时取等号)，
∵由于三角形是锐角三角形，
a2＋b2
a2＋b2－5
2ab
4（a2＋b2）＝≥10ab
??a＋b＞c，
??a＋b?
∴?b＋c＞a，∴?b＋ ＞a，5??a＋c＞b，?a＋b
??a＋5＞b，
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a2＋b2a2＋b2＞5，2b236b6∴3＜a2＜2，∴3＜a＜2.
422
a2＋b2－c25（a＋b）2?ba?
∵cosC＝2ab＝＝5?a＋b?， 2ab??
?61?b2?6?
设a＝x，x∈?，?，∴f(x)＝5?x＋x?.
2????3
?6??6????因为函数f(x)在上是减函数，在1，?上是增函数， ，12??3???6??6?
所以f(x)的无限接近f??，f??中较大的，
?3??2??6??6?6
所以f(x)→f??＝f??＝3.
?2??3?
?46?
所以cosC的取值范围为?，?.故选C.
3??5
答案：C
10．(2019年广西高三下学期第一次模拟)我国南宋著名数学家秦九韶发现了利用三角形三边求三角形面积的“三斜求积公式”，设△ABC三个
2021高考理科数学一轮总复习课标通用版作业：第4章 三角函数、解三角形 课时作业22
