常见不等式通用解法总结
一、基础的一元二次不等式，可化为类似一元二次不等式的不等式
①基础一元二次不等式
如2x2?x?6?0，x2?2x?1?0，对于这样能够直接配方或者因式分解的基础一元二次不等式，重点关注解区间的“形状”。
当二次项系数大于0，不等号为小于（或小于等于号）时，解区间为两根的中间。
32x2?x?6?0的解为(?,2)
2
当二次项系数大于0，不等号为大于（或大于等于号）时，解区间为两根的两边。
x2?2x?1?0的解为(??,1?2)?(1?2,??)
当二次项系数小于0时，化成二次项系数大于0的情况考虑。 ②可化为类似一元二次不等式的不等式（换元）
如3x?1?9x?2，令t?3x，原不等式就变为t2?3t?2?0，再算出t的范围，进而算出x的范围
又如x2?ax4?3，令t?x2，再对a进行分类讨论来确定不等式的解集 2③含参数的一元二次不等式 解法步骤总结：
序步骤 号 首先判定二次项系数是否为1 0，为0则化为一元一次不等式，再分类讨论 二次项系数非0，将其化为正2 的，讨论判别式的正负性，从而确定不等式的解集 若可以直接看出两根，或二次3 式可以因式分解，则无需讨论判别式，直接根据不同的参数值比较两根大小 4
所以，讨论??a2?4的正负性即可。
综上，写出解集 如不等式x2?ax?1?0，首先发现二次项系数大于0，而且此不等式无法直接看出两根，
????0,R?a?此不等式的解集为???0,{x?R|x??}
2???a?a2?4?a?a2?4???0,(??,)?(,??)?22
又如不等式x2?(a2?a)x?a3?0，发现其可以通过因式分解化为(x?a)(x?a2)?0，所以
只需要判定a2和a的大小即可。
?a?0ora?1,{x?R|x?a}?此不等式的解集为?0?a?1,(??,a2)?(a,??)
?2?a?0ora?1,(??,a)?(a,??)
又如不等式ax2?2(a?1)x?4?0，注意：有些同学发现其可以因式分解，就直接写成
(ax?2)(x?2)?0，然后开始判断两根
2和2的大小关系，这样做是有问题的。 a事实上，这个题目中并没有说此不等式一定是一元二次不等式，所以参数a是有可能为0
注意，a?0和a?0时解区间的状况不同，一种为中间，一种为两边。
的。讨论完a?0的情况再讨论a?0和a?0的情况。所以此不等式的解集应该是： 二、数轴标根法（又名穿针引线法）解不等式
这种问题的一般形式是(x?a1)(x?a2)(x?a3)...(x?an)?0（或?,?,?） 步骤：
①将不等式化为标准式，一段为0，另一端为一次因式的乘积（注意！系数为正）或二次不②画出数轴如下，并从最右端上方起，用曲线自右向左一次由各根穿过数轴。 ③记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号写出解集。
例如，求不等式(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)?0的解集，画出图如下，发现解集为
为什么数轴标根法是正确的呢？对于不等式(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)?0来说，要满足四项
可约因式（二次项系数为正）。
(??,1)?(2,3)?(4,??)
相乘为正，说明①四项均正，解集为(4,??)②两正两负，只能是(x?1),(x?2)正，(x?3),(x?4)负，此时解集为(2,3)③四项均负，解集为(??,1)。综上，解集为这三种情况的并集。当不等式左侧有奇数项的时候同理。
由此可知，遇到奇数个一次项系数为负的情况，如果不把系数化为正的，结果一定是错误的。
注意，这种方法要灵活使用，若不等式为(x?1)2(x?2)(x?3)(x?4)?0，使用数轴标根法
得到的解集显然和上述不一样，因为(x?1)2是偶次项，必然非负，所以在“穿针引线”时，可以忽略，或者可以记住口诀“奇穿偶不穿”。
(x?1)2(x?2)(x?3)(x?4)?0的示意图见下。
三、解分式不等式
分式不等式的解题思路，前面讲了一些不等式的求解，都是讲不等式的一边化为0，另一边
为含x的多项式。把一个分式不等式经过移项和通分处理，最终总能化为形式），此时解f(x)g(x)?0就可以解出原不等式的解集。
特别地，若要解
f(x)?0（或?,?,?的g(x)?f(x)g(x)?0f(x)即可。 ?0，则解?g(x)?0g(x)?
x2?3x?22x?8例如2?0，使用穿针引线法得到解集为?1，移项化简得2x?x?6x?x?6{x|x??2或1?x?2或x?3}，一定要注意分母不为零，而分子可以为零。
例：一道比较复杂的题，求
a(x?1)?1(a?1)的解集，现写出此题的完整解题过程。 x?2(a?1)x?(a?2)?0，由于a?1，所以可以进一步化为x?2 解：原不等式通过移项通分可化为(a?1)(x?a?2)a?1?0，两根为a?2和2。 x?2a?1
a?2a?2?2，所以此时解集为(??,)?(2,??) a?1a?1当a?1时，解集为两根中间，此时必须根据a的取值判断两根范围。 当a?1时，解集为两根的两边，显然有①当0?a?1时，②当a?0时，③当a?0时，a?2a?2?2，此时解集为(2,) a?1a?1a?2?2，此时解集为? a?1a?2a?2?2，此时解集为(,2) a?1a?1至此，a的所有值都讨论完毕，所以这道题讨论到这样就结束了
当然，如果这道题不给a?1的限制条件，只需要再讨论一下a?1时的解集情况即可。 补充内容：一类经典但易错的分式不等式问题 ①求②求③求④求
1?1的解集 x1?1的解集 x1??1的解集 x1??1的解集 x
常见不等式通用解法
