任意四边形、梯形与相似模型
卜亠\\
模型三蝴蝶模型
（任意四边形模型）
任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）:
D
S1: S2 = S4: S3或者 S S3 =S2 S4 ② AO : OC =[S S2 : S4 S3
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边 形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
【例1】（小数报竞赛活动试题）如图，某公园的外轮廓是四边形 ABCD被对角线 AC BD分成四个部分，△ AOB面
积为1平方千米，△ BOC面积为2平方千米，△ COD勺面积为3平方千米，公园由陆地面积是
6. 92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？
【分析】根据蝴蝶定理求得 S^AOD =3 1-'2=1.5平方千米，公园四边形 ABCD的面积是12 3 45 = 7.5平 方千米，所以
人工湖的面积是
【巩固】如图，四边形被两条对角线分成
7.5-6.92=0.58平方千米
4个三角形，其中三个三角形的面积已知，
求：⑴三角形BGC的面积：⑵AG:GC= ?
【解析】⑴根据蝴蝶定理，SBGC 1=2 3，那么SBGC=6 ;
⑵根据蝴蝶定理， AG:G^ 1 2 : 3 6 =1:3 . （ ? ??）
【例2】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点0（如图所示）。如果三角形 ABD的面积等于三角形 BCD的
面积的，且AO =2 , DO =3，那么CO的长度是DO的长度的 _____________ 倍。
3
1
【解析】在本题中，四边形 ABCD为任意四边形，对于这种”不良四边形” ，无外乎两种处理方法：⑴利用已
知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条 件SABD : S
BCD
=1:3，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已 知条件是面积的关系，
转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改 造这个”不良四边形”，于是可以作 AH垂直BD于H , CG垂直BD于G，面积比转化为高之比。 再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使 学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。
解法一 ：T AO ：OC = S ABD ： S BDC二 OC =2 3 =6 ,
=
1：
3 ,
??? OC:OD =6:3 2:1 .
解法二：作 AH _BD 于 H , CG_BD 于 G .
3审
?- AH」CG ,
3 S 'ABD
S BCD
S AOD =—S DOC
3 1
?- AO CO ,
3
? OC =2 3=6 ,
? OC:OD =6:3 =2:1 ?
【例3】如图，平行四边形 ABCD的对角线交于 O点，ACEF、△
OEF、△ODF、△BOE的面积依次是 2、
4、4和6。求：⑴求 AOCF的面积；⑵求 AGCE的面积。
【解析】⑴根据题意可知， △
BCD的面积为2 4 4 ^16，那么△ BCO和:CDO的面积都是16亠2=8 , 所以AOCF
的面积为8—4=4;
⑵由于△ BCO的面积为8, △ BOE的面积为6,所以AOCE的面积为8-6=2 , 根据蝴蝶定理， EG:FG 二SgE：S.COF =2:4 =1:2，所以 S.GCE：S.GCF = EG : FG =1:2 ,
1 1 2 那么 S GCE
1+2
S CEF
3
2 ~~ ?
3
【例4】图中的四边形土地的总面积是
52公顷，两条对角线把它分成了 4个小三角形，其中2个小三角形的
面积分别是6公顷和7公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？
C
【解析】 在
L ABE , LCDE中有.AEB=/CED，所以L ABE , LCDE的面积比为(AE EB) :(CE DE)。同
2条对角线，有图形分成上、下、左、右
4个部分，有：上、
理有 L ADE , L BCE 的面积比为(AE DE)： (BE EC)。所以有 SABE X SCDE =SADE X SBCE ,也就是 说在所有凸四边形中，连接顶点得到
下部分的面积之积等于左右部分的面积之积。
即SIABE 6 = SADE 7,所以有L ABE与L ADE的面积
比为 7：6，SABE = — 39=21 公顷，SADE = — 39=18 公顷。
6+7 6+7
显然，最大的三角形的面积为 21公顷。
【例5】(2008年清华附中入学测试题
)如图相邻两个格点间的距离是
1，则图中阴影三角形的面积
为 ________ 。
【解析】连接AD、CD、BC。
「ABC的面积为：1,4-1=2， ACD的面积为：3?总-1=3.5，
2 2
则可根据格点面积公式，可以得到
4
ABD的面积为：2
2
1=3 .
4
S ABD 3 =.
4十7 11 4
12 11
所以 BO ： 0D = S ABC : S ACD -2.3.5 =4.7，所以 S ABO
【巩
1，求三角形 ABC的面积。
5
【解析】
5 10
, S DBc=2 二
7 7
因为 BD.CE =2:5，且 BD // CE，所以 DA:AC=2:5 , S ABC
2+5
5
10
.
【例6】(2007年人大附中考题)如图，边长为
1的正方形 ABCD中，BE=2EC , CF =FD，求三角形 AEG 的面积.
小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)整理版
