3.吉布斯函数作为特性函数应选取的独立态参量是B （A）温度和体积（B）温度和压强 （C）熵和体积（D）熵和压强 （D）孤立的系统
4.费米统计的巨配分函数用?表示，则熵的统计表达式是C （A）S?N?ln????ln????ln??（B）S?N?ln????ln????ln??
????????????????（C）S?k?ln????ln????ln??（D）S?k?ln????ln????ln?? ????????????????5.自由能作为特性函数应选取的独立态参量是A （A）温度和体积B）温度和压强（C）熵和体积（D）熵和压强 6.由热力学基本方程dG??SdT?Vdp可得麦克斯韦关系D ??T???V??p???S?（B）?????? ????p?S?T?V?p??V??T??S???S??T???p???V?（C）?（D）?????? ???????T?V?S??p??S??V??p?T（A）??7.将平衡辐射场视为处在平衡态的光子气体系统，下面说法不正确的是 （A）这是一个玻色系统 （B）这是一个能量和粒子数守恒的系统 （C）系统中光子的分布遵从玻色分布 （D）这是一个非定域系统 8.封闭系统指 C （A）与外界无物质和能量交换的系统 （B）能量守衡的系统 （C）与外界无物质交换但可能有能量交换的系统 9.下列系统中适合用玻尔兹曼分布规律处理的系统有B （A）经典系统
（B）满足非简并条件的玻色系统和费米系统 （C）满足弱简并性条件的玻色系统和费米系统 -来源网络，仅供个人学习参考
（D）非定域体系统
10.?v和?r分别是双原子分子的振动特征温度和转动特征温度，下面说法正确的
是
（A）T???v时，振动自由度完全“解冻”，但转动自由度仍被“冻结”。 （B）T???r时，转动自由度完全“解冻”，但振动自由度仍被“冻结” （C）T???v时，振动自由度和转动自由度均完全“解冻”。 （D）T???r时，振动自由度和转动自由度均完全“解冻”。 11.气体的非简并条件是D （A）分子平均动能远远大于kT （B）分子平均距离极大于它的尺度 （C）分子数密度远远小于1 （D）分子平均距离远大于分子德布罗意波的平均热波长 12.不考虑粒子自旋，在边长L的正方形区域内运动的二维自由粒子，其中动量的大小处在p~p?dp范围的粒子可能的量子态数为B 4?L22?L22?L2?L22（A）2pdp（B）2pdp（C）2dp（D）2pdphhhh 五.推导与证明 1.试用麦克斯韦关系，导出方程TdS?CVdT?T??解：∵dS???∴TdS?T???S???S?dT????dV??T?V??V?T?p??dV，假定CV可视为常量，由?T??V此导出理想气体的绝热过程方程TV??1?C（常量）。 ， ?S???S???S?dT?TdV?CdT?TV?????dV ??T?V??V?T??V?T?S???p???p?TdS?CdT?T，?V??dV?????T?V??V?T??T?VV由麦氏关系??
绝热过程dS?0，理想气体p?nRT，??CV?p?nR ????T?VVdTdV?nR?0积分得CVlnT?nRlnV?C'（常量） TV?CV(??1)
∵Cp/CV??，nR?Cp?CV-来源网络，仅供个人学习参考
故：lnTV??1?C'，即：TV??1?C（常量）
???2.证明:?????P?T,n??V?n??,
TP证明：选T,V为独立变量，则 而
???Gp??VT,n?，故???p??T,n??V?n??T,p
3.证明焓态方程：??H???V??V?T??。 ??T?p??p?T?证：选T、p作为状态参量时，有 ??H???S???H???S?（1）dH??dT?dpdS?dT?????dp（2） ?????T?p??T?p??p?T??p?T而，dH?TdS?Vdp（3）
?S?（2）代入（3）得：dH?T??????S??dT??V?T???dp（4） ??T?p??p?T??比较（1）、（4）得：??将麦氏关系??S?????S??H???S???H?（5）?T?V?T??（6） ???????V?T??T?p??T?p??p?T??V?，即得 ????代入（6）?p?T??p??T4.导出含有N个原子的爱因斯坦固体的内能和热容量表达式： ?E/T??E?33N?eU?N????CV?3Nk??2?T?e?E/T?1e?1，2??2 解：按爱因斯坦假设，将N个原子的运动视为3N个线性谐振子的振动，且所有谐振子的振动频率相同。谐振子的能级为：??(n?1/2)?则，振子的配分函数为：Z1??en?0????(n?1/2)(n?0,1,2)
?e???/2??(en?0????ne???/2)?1?e???
∵lnZ1??1???ln(1?e???)
2?lnZ133N?e???33N?∴U??3N ?N???N????21?e???2e???1-来源网络，仅供个人学习参考
引入爱因斯坦特征温度?E：
?E/T??E?e??k?E，即得：CV?3Nk???T?e?E/T?12??2
????5.导出爱因斯坦固体的熵表达式：S?3Nk??ln1?e?????1?e???? ?解：设固体系统含有N个原子，按爱因斯坦假设，将N个原子的运动视为3N
个线性谐振子的振动，且所有谐振子的振动频率相同。谐振子的能级为： 则，振子的配分函数为： 6.证明，对于一维自由粒子，在长度L内，能量在ε~ε?dε的范围内，可能的量子态数为D???d??L(2m)1/2??1/2d?。 h证：由量子态与相空间体积元之间的对应关系，对于一维自由粒子，在相空间体积元dxdpx内的可能的量子态数为dxdpxh。 因此，在长度L内，动量大小在p~p?dp范围内粒子的可能的量子态数为 而，??m12p，dp?d? 2m2?故，在长度L内，能量在ε~ε?dε范围内，可能的量子态数为 D???d???T?7.证明:①?????V?②??S???????0?P?S?V??S??P??U L(2m)1/2??1/2d?h。 ①证明： dH?TdS?VdP，由全微分条件得：????S??T?PS??V P②证明： 由
dU?TdS?PdV，令dU?0得：
S???V??P
TU8.导出普朗克黑体辐射公式。
解：在体积V内，动量在p~p+dp范围的光子的量子态数为
因为，光子气体是玻色系统遵从玻色分布，由于系统的光子数不守恒，每个量子态上平均光子数为
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=? 又p=?cc所以，在体积V内，圆频率在?~?+d?范围内的光子的量子态数为
V?在此范围内的光子数为N?d??f?D(?)d???2c3?e?/kT?1d?
2故，在此范围内的辐射能量为：
2a?v-b?RT??p???T?9.对于给定系统，若已知??=，??=，求此系统的物态方?3?vv-bRv?Tv-b??p??v程。 解：设物态方程为p?p(T,v)，则 ??p???p?dp??dT????dv（1） ?T??v??v?T??p???T???V?∵????1 ??????T?v??v?p??p?T??p???p???T?∴????????（2） ?v?T?v??T??v??p将?2a?v-b?RT??p???T?和代入（2）得 ==????3Rv??T?vv-b??v?pv-b2a?v-b??2aR?TRT??p???p???T?（3） ???????????????233?v?T?vv-bv-bRvv??T??v??p?v-b???将?R??p?和（3）代入（1）得 =???T?vv-ba?RTa??2，即：?p?2??v-b??RT v?v-bv?积分得：p?11.已知气体系统通常满足经典极限条件且粒子动量和能量准连续变化，采用量子统计方法导出单原子分子理想气体的内能。 解：气体系统遵从玻耳兹曼分布，粒子配分函数为
Z1???lel???l??es???s（对所有量子态s求和）
当粒子能量准连续变化时，上述对量子态求和可用?空间积分替代。因为，在-来源网络，仅供个人学习参考
热力学统计物理期末复习试题 (2)
