分析法证明不等式 ?教学目标
（一） 教学知识点 分析法证明不等式. （二） 能力训练要求
1. 理解分析法证明不等式的原理和思路.
2. 理解分析法的实质——执果索因，熟练掌握分析法证明不等式.
（三） 德育渗透目标
分析法证明不等式意在提高学生的数学素质,培养学生的创新意识，加强学生分析问题 和解决问题的逻辑思维及推理能力，进一步使学生认识到事物间是有联系的辩证唯物主义观 念.
?教学重点
分析法证明不等式，就是“执果索因”，从所证的不等式出发，不断用充分条件代替前面 的不等式，直至使不等式成立的条件已具备，就断定原不等式成立.当证题不知从何入手时, 有时可以运用分析法而获得解决，特别对于条件简单而结论夏杂的题目往往是行之有效的方 法.
用分析法论证“若则屏这个命题的模式是:欲证命题8为真,只需证明命题3为真, 从而又只需证明命题毋为真，从而又……只需证明命题A为-真,今己知4真，故万必真.简写 为：B<= R,<= A.
?教学难点
1. 理解分析法的本质是从结论分析出使结论成立的“充分”条件.
2. 正确使用连接有关（分析推理）步骤的关键词.如“为了证明” “只需证明\“即”以及
“假定……成立\等.
?教学方法
指导自学法.即通过教师必要的引导，学生自己动手、动脑获取知识，并指导学生总结、 归纳分析法，证明不等式的方法思路，使学生在转化“矛盾”中，增强化归、转化意识，树立 化归、转化思想，提高化归、转化能力.“执果索因”，去探索证明不等式的途径.
?教具准备 投影片一张 记作§ 6. 3 4 A
用分析法证明不等式: ⑴设 R,且 *'-2砂+2/=2,求证:| x^-y\\ W V10 . （2） 设 a, b, x, yER,且 a2+Z?2=l, x +y=l,试证:| ax^by\\ W1. （3） a,力6R* 旦袖U,求证：J. +? + J. + ! . 2 . ?教学过程
I. 课题导入
［师］随着我们对不等式证明学习的逐步深入，我们还会遇到这样的问题:面对一个不等 式的证明而一筹莫展，无计可施，由题设不易“切入”展开推理.在此情况下，我们可以尝试从 目标不等式“倒推”分析，往往在“倒推”的过程中，逐渐发现解题思路，从而达到证明不等 式的目的.
今天，我们根据这种基本思路，继续探讨学习证明不等式的又一种重要方法——分析法.
II. 讲授新设
（简述：“分析法”证明不等式的基本思想）
［师］证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件, 把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题.如果能够肯定这些充分条件都己具 备，那么就
可以断定原不等式成立.这种证明方法通常叫做分析法.
（关于“分析法”证明不等式，其基木模式在后面“备课资料”中有较详细说明） 下面，我们探索分析用“分析法”证明不等式. ［例 1］求 iff.: V3+V7 ＜2^5.
［师］显然，目标不等式中含有根式,我…们尝试先平方、合并，后对其进行化筒,逐步寻 求不等式成立的充分条件，以达证题目的.
（在教师指导下，请同学们书写证明过程） ［生］?.?V5 + V7和2打均为正数 ..?为了证明V3+V7 <2^5, 只需证明(V3+V7)2<(2V5)2, 展开得:10+2^/21 <20 即 2 721 <10
??? V21 <5, A2K25. V2K25成立.
??.(V3+V7)2 <(2V5)2 成立.
即［右+、万＜2山?
［师生共析］证明某些含有根式的不等式时，用综合法比较困难.例如，在木例中,我们很 难想到从“21C25”入手.因此，在不等式的证明中，分析法占有重要的位置.我们常用分析法 探索证明的途径,然后用综合法的形式写出证明过程，这是解决数学问题的一种重要思想方 法.
［例2］证明:通过水管放水，当流速相同时,如果水管截面（指横截面,下同）的周长相等, 那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大.
［师］当水的流速相同时，水管的流量取决于水管截面面积的大小?设截面的周长为L, 则周长为Z的圆的半径为截面积为力（4）2；周长为 妇的正方形边长为匕截面积为 2勿
2〃 4
（-）2.所以本题只需证明^（―）2＞（-）2. 4 2勿 4
（教师指导学生,正确写出证明过程）
［生］设截面的周长为4依题意，截面是圆的水管的截面积为\（4）2,截面是正方形 2〃 的水管截面面积为(4 )2. 4 木题只需证明
^(―)2>(-)2,
271 4
为了证明上式成立，只需证明
1}
--- > — 4勿」16
4
两边同乘以正数尸，得
1 1
—> —
7L 4
因此，只需证明
4>刀
显然，上式“4>力”是成立的.
这就证明了，通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的 水管比截面是正方形的水管流量大.
［师生共析］我们想一想，本题是否可以用比较法证明呢？(教师引导下，让学生尝试写出 证明过程).
［生］设截面的周长为依题意，截面是圆的水管的截面面积为勿(土尸,截面是正方 2勿 形的水管的截面面积为(4 )2,则：
4
”(_L)2_(4)2
2勿 4
就2 L2 4Z? 一就2
乙2(4一万)
4 兀'16
?/ Z>0, 4> 刀 .*>0, 4- 〃>0 E\)>0 16〃
即刀(4)2>()2.
2勿
16〃 16勿
故证明了，通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是管比截面是正方形的水管流量大.
本题中比较^(― )与(4 )2的大小，也可用作商法.
2勿 4 即：?.. ^(― )2>0, ( -)2>0 2几 4
2
I
员
1
的水
岳 4〃 L2
4 =—＞1 71
故\（4）2＞（4）2.
2勿 4
（打出投影片§ 6. 3. 4 A,让学生分三组，在教师指导下进行练习，目的在于激活学生思维,
提高学生分析问题，解决问题，灵活应变的能力）
［师］请甲组同学做⑴题，乙组同学做⑵题，丙组同学做⑶题.（学生板书证明过程）.
⑴设 pER,且 /-2A7+2y=2,求证：
I x+y| W V10 .
［生甲］证明：计* W J布
（X+02W1O
0
（对y）?-5{x~2xy^2y） WO
0
-（2/3火尸《0这显然成立.
故 | x+y\\ W V10 .
（2）设 a, by x, yER,且 a+1）=1, ^+/=1,试证:| ax^by\\ WL ［生乙］证明:| ax^by\\ 1
（必+如尸＜1
3
a x +2湖氏尹步寸W1
ax +2沥x尹莎寸＜ 盘+月）（V+/）
（力ray）'，。这显然成立. 故 | ax^by\\ WL
［生丙］证明：（a计/功' -ax ^2abxy^l} y
L 2 2.2 2. z2 2 . z2 2
=（%2+y）（//+//）=1
/. | ax+by\\ W1
（上述证明过程利用了重要不等式:寸+/冷2展）
［生丁］证明：J土+?+/ + ： W2
(
?
-W1
2 V 2
0
4
0
ab^— W1
4
0
abW —
4
.，一，a + b * 1 4、? ?. abW ( ---- )-—成，
2 4
［师生共析］用分析法证明不等式的关键是,寻求不等式成立的充分条件.因此，经常要 对原不等式进行化简，常用的方法有:平方、合并、有理化、去分母等,但要注意所做这些变 形是否可以逆推，若不能逆推，则不可使用.
III. 课堂练习
1. 求证：V6+V7 >2^2 + 75 .
分析:仿照例1,尝试分析法证明不等式. 证明：要证V6 + V7 >2V2 + V5 . 只需证（V6+V7）2 >（2V2+V5）2, 即 13+2^42 >13+2^40 亦即面> J而，也就是42>40. 由于42〉40成立， 故V6+V7 >2^2+75 成立.
2. 求证：（泌 bcIfW （?/+尸）（4+J）
分析:本题运用分析法，在证明过程中,每一步的“只需证”，应该是上一步“欲证”的充 分条件，只有这样，才能保证整个证明过程正确.
证明:要证（泌bd）'W （疽+决）（4+J）, 只需证 a c^2abccKt）dW牖+凭d+&C^ID d, 即证 d+Bc,
也就是证（a*■加）'五0. 由于（ad~bS*成立，
故（acH■砌'W （决+方）（4+J）成立. 、、. 。2一1
3. 求证：T W - --- <1.
ci +1
分析:不等式的运算结构复杂，由题设不易“切入”展开推理，尝试运用分析法.
[整理][全套]高二第六章不等式全部教学设计及学习指导--分析法证明不等式.doc
