第二部分 专题五 类型一
1.(2018·南昌模拟)我们定义:有一组邻角相等且对角线相等的凸四边形叫做邻对等四边形.
概念理解
(1)我们所学过的特殊四边形中的邻对等四边形是矩形或正方形; 性质探究
(2)如图1,在邻对等四边形ABCD中,∠ABC=∠DCB ,AC=DB ,AB>CD,求证:∠BAC与∠CDB互补;
拓展应用
(3)如图2,在四边形ABCD中,∠BCD=2∠B,AC=BC=5,AB=6,CD=4.在BC的延长线上是否存在一点E,使得四边形ABED为邻对等四边形?如果存在,求出DE的长;如果不存在,说明理由.
(1)解:矩形或正方形.
(2)证明:如答图1,延长CD至E,使CE=BA,连接BE.
AB=EC,??
在△ABC和△ECB中,?∠ABC=∠ECB,
??BC=CB,
∴△ABC≌△ECB(SAS), ∴BE=CA,∠BAC=∠E.
∵AC=DB,∴BD=BE,∴∠BDE=∠E,
∴∠CDB+∠BDE=∠CDB+∠E=∠BAC+∠CDB=180°,即∠BAC与∠CDB互补.
(3)解:存在这样一点E,使得四边形ABED为邻对等四边形,如答图2,在BC的延长线上取一点E,使得CE=CD=4,连接DE,AE,BD,则四边形ABED为邻对等四边形.理由如下:
∵CE=CD,∴∠CDE=∠CED.
1
∵∠BCD=2∠ABC,
∴∠ABC=∠DEB,∴∠ACE=∠BCD.
AC=BC,??
在△ACE和△BCD中,?∠ACE=∠BCD,
??CE=CD,
∴△ACE≌△BCD(SAS),
∴BD=AE,四边形ABED为邻对等四边形. ∵∠CBA=∠CAB=∠CDE=∠CED, ∴△ABC∽△DEC,
AB6DEDE24
∴===,∴DE=. BC5CE45
2.(2018·淮安)如果三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°,那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”.
(1)若△ABC是“准互余三角形”,∠C>90°,∠A=60°,则∠B=15°;
(2)如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=5.若AD是∠BAC的平分线,不难证明△ABD是“准互余三角形”.试问在边BC上是否存在点E(异于点D),使得△ABE也是“准互余三角形”?若存在,请求出BE的长;若不存在,请说明理由.
(3)如图2,在四边形ABCD中,AB=7,CD=12,BD⊥CD,∠ABD=2∠BCD,且△ABC是“准互余三角形”,求对角线AC的长.
解:(1)∵△ABC是“准互余三角形”,∠C>90°,∠A=60°,∴2∠B+∠A=90°,解得∠B=15°.
(2)如答图1,在Rt△ABC中,∵∠B+∠BAC=90°,∠BAC=2∠BAD,∴∠B+2∠BAD=90°,
∴△ABD是“准互余三角形”. ∵△ABE也是“准互余三角形”, ∴只有2∠B+∠BAE=90°.
∵∠B+∠BAE+∠EAC=90°,∴∠CAE=∠B. ∵∠C=∠C=90°,
∴△CAE∽△CBA,∴CA=CE·CB, 16169∴CE=,∴BE=5-=. 555
2
2
(3)如答图2,将△BCD沿BC翻折得到△BCF, ∴CF=CD=12,∠BCF=∠BCD,∠CBF=∠CBD. ∵∠ABD=2∠BCD,∠BCD+∠CBD=90°,
∴∠ABD+∠DBC+∠CBF=180°,∴点A,B,F共线, ∴∠A+∠ACF=90°,∴2∠ACB+∠CAB≠90°, ∴只有2∠BAC+∠ACB=90°,∴∠FCB=∠FAC.
∵∠F=∠F,∴△FCB∽△FAC,∴CF=FB·FA,设FB=x,则有x(x+7)=12, ∴x=9或x=-16(舍去),
∴AF=7+9=16,在Rt△ACF中,AC=AF+CF=16+12=20.
3.(2015·江西)我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”,例如图1,图2,图3中,AF,BE是△ABC的中线,AF⊥BE,垂足为P,像△ABC这样的三角形均称为“中垂三角形”,设BC=a,AC=b,AB=c.
特例探索
(1)如图1,当∠ABE=45°,c=22时,a=____25____,b=____25____. 如图2,当∠ABE=30°,c=4时,a=____213____,b=____27____. 归纳证明
(2)请你观察(1)中的计算结果,猜想a,b,c三者之间的关系,用等式表示出来,并利用图3证明你发现的关系式.
拓展应用
(3)如图4,在□ABCD中,点E,F,G分别是AD,BC,CD的中点,BE⊥EG,AD=25,
2
2
22
2
2
2
22
AB=3,求AF的长.
解:(1)∵AF⊥BE,∠ABE=45°, ∴AP=BP=
2
AB=2. 2
∵AF,BE是△ABC的中线,
3
1
∴EF∥AB,EF=AB=2,
2
∴∠PFE=∠PEF=45°,∴PE=PF=1.
在Rt△FPB和Rt△PEA中,AE=BF=12
+22
=5, ∴AC=BC=25,∴a=b=25. 如答图1,连接EF. 同理可得EF=1
2×4=2.
∵EF∥AB,∴△PEF∽△PBA, ∴PFAP=PEPB=
EFAB=1
2
.
在Rt△ABP中,AB=4,∠ABP=30°, ∴AP=2,PB=23,∴PF=1,PE=3. 在Rt△APE和Rt△BPF中,AE=7,BF=13, ∴a=213,b=27.
(2)猜想:a2
+b2
=5c2
,证明如下: 如答图2,连接EF.
设∠ABP=α,∴AP=csinα,PB=ccosα, 由(1)同理可得PF=12PA=csinα2,PE=1
2
PB=
ccosα2
,
∴AE2
=AP2
+PE2
=c2
sin2
α+
c2cos2α4,
BF2=PB2+PF2=c2cos2
α+
c2sin2α4
,
2∴(b222
c2cos2αa2
csin2α22
2)=csinα+
4
,(2
)=
4
+ccosα,
∴a2b2c2sin2α2
2
2
4+4
=sin2
4
+ccosα+cα+
c2cos2α4
,
∴a2
+b2
=5c2
.
(3)如答图3,连接AC,EF交于点H,AC与BE交于点Q,设BE与AF的交点为P.
4
∵点E,G分别是AD,CD的中点,∴EG∥AC. ∵BE⊥EG,∴BE⊥AC.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC=25,∴∠EAH=∠FCH. ∵E,F分别是AD,BC的中点, 11
∴AE=AD,BF=BC,
221
∴AE=BF=CF=AD=5.
2
∵AE∥BF,∴四边形ABFE是平行四边形, ∴EF=AB=3,AP=PF.
∠EAH=∠FCH,??
在△AEH和△CFH中,?∠AHE=∠FHC,
??AE=CF,
∴△AEH≌△CFH,∴EH=FH,∴EP,AH分别是△AFE的中线, 由(2)的结论得AF+EF=5AE, ∴AF=5(5)-EF=16,∴AF=4.
1
或连接F与AB的中点M,证MF垂直BP,构造出“中垂三角形”,由AB=3,BC=AD2=5及(2)中的结论,直接可求AF.
4.(2017·江西)我们定义:如图1,在△ABC中,把AB绕点A顺时针旋转α(0°<α<180°)得到AB′,把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′,连接B′C′.当α+β=180°时,我们称△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”,△AB′C′边B′C′上的中线AD叫做△
2
2
22
2
2
ABC的“旋补中线”,点A叫做“旋补中心”.
特例感知
(1)在图2,图3中,△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”,AD是△ABC的“旋补中线”. 1①如图2,当△ABC为等边三角形时,AD与BC的数量关系为AD=BC;
2②如图3,当∠BAC=90°,BC=8时,则AD长为4. 猜想论证
(2)在图1中,当△ABC为任意三角形时,猜想AD与BC的数量关系,并给予证明. 拓展应用
(3)如图4,在四边形ABCD,∠C=90°,∠D=150°,BC=12,CD=23,DA=6.在四边形内部是否存在点P,使△PDC是△PAB的“旋补三角形”?若存在,给予证明,并求△
PAB的“旋补中线”长;若不存在,说明理由.
5
(江西专用)2019中考数学总复习 第二部分 专题综合强化 专题五 几何探究题 类型1 针对训练
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)