第二部分 专题五 类型一
1．(2018·南昌模拟)我们定义：有一组邻角相等且对角线相等的凸四边形叫做邻对等四边形．
概念理解
(1)我们所学过的特殊四边形中的邻对等四边形是矩形或正方形； 性质探究
(2)如图1，在邻对等四边形ABCD中，∠ABC＝∠DCB ，AC＝DB ，AB>CD，求证：∠BAC与∠CDB互补；
拓展应用
(3)如图2，在四边形ABCD中，∠BCD＝2∠B，AC＝BC＝5，AB＝6，CD＝4.在BC的延长线上是否存在一点E，使得四边形ABED为邻对等四边形？如果存在，求出DE的长；如果不存在，说明理由．
(1)解：矩形或正方形．
(2)证明：如答图1，延长CD至E，使CE＝BA，连接BE.
AB＝EC，??
在△ABC和△ECB中，?∠ABC＝∠ECB，
??BC＝CB，
∴△ABC≌△ECB(SAS)， ∴BE＝CA，∠BAC＝∠E.
∵AC＝DB，∴BD＝BE，∴∠BDE＝∠E，
∴∠CDB＋∠BDE＝∠CDB＋∠E＝∠BAC＋∠CDB＝180°，即∠BAC与∠CDB互补．
(3)解：存在这样一点E，使得四边形ABED为邻对等四边形，如答图2，在BC的延长线上取一点E，使得CE＝CD＝4，连接DE，AE，BD，则四边形ABED为邻对等四边形．理由如下：
∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠CED.
1
∵∠BCD＝2∠ABC，
∴∠ABC＝∠DEB，∴∠ACE＝∠BCD.
AC＝BC，??
在△ACE和△BCD中，?∠ACE＝∠BCD，
??CE＝CD，
∴△ACE≌△BCD(SAS)，
∴BD＝AE，四边形ABED为邻对等四边形． ∵∠CBA＝∠CAB＝∠CDE＝∠CED， ∴△ABC∽△DEC，
AB6DEDE24
∴＝＝＝，∴DE＝. BC5CE45
2．(2018·淮安)如果三角形的两个内角α与β满足2α＋β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．
(1)若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝15°；
(2)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5.若AD是∠BAC的平分线，不难证明△ABD是“准互余三角形”．试问在边BC上是否存在点E(异于点D)，使得△ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，在四边形ABCD中，AB＝7，CD＝12，BD⊥CD，∠ABD＝2∠BCD，且△ABC是“准互余三角形”，求对角线AC的长．
解：(1)∵△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，∴2∠B＋∠A＝90°，解得∠B＝15°.
(2)如答图1，在Rt△ABC中，∵∠B＋∠BAC＝90°，∠BAC＝2∠BAD，∴∠B＋2∠BAD＝90°，
∴△ABD是“准互余三角形”． ∵△ABE也是“准互余三角形”， ∴只有2∠B＋∠BAE＝90°.
∵∠B＋∠BAE＋∠EAC＝90°，∴∠CAE＝∠B. ∵∠C＝∠C＝90°，
∴△CAE∽△CBA，∴CA＝CE·CB， 16169∴CE＝，∴BE＝5－＝. 555
2
2
(3)如答图2，将△BCD沿BC翻折得到△BCF， ∴CF＝CD＝12，∠BCF＝∠BCD，∠CBF＝∠CBD. ∵∠ABD＝2∠BCD，∠BCD＋∠CBD＝90°，
∴∠ABD＋∠DBC＋∠CBF＝180°，∴点A，B，F共线， ∴∠A＋∠ACF＝90°，∴2∠ACB＋∠CAB≠90°， ∴只有2∠BAC＋∠ACB＝90°，∴∠FCB＝∠FAC.
∵∠F＝∠F，∴△FCB∽△FAC，∴CF＝FB·FA，设FB＝x，则有x(x＋7)＝12， ∴x＝9或x＝－16(舍去)，
∴AF＝7＋9＝16，在Rt△ACF中，AC＝AF＋CF＝16＋12＝20.
3．(2015·江西)我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均称为“中垂三角形”，设BC＝a，AC＝b，AB＝c.
特例探索
(1)如图1，当∠ABE＝45°，c＝22时，a＝____25____，b＝____25____. 如图2，当∠ABE＝30°，c＝4时，a＝____213____，b＝____27____. 归纳证明
(2)请你观察(1)中的计算结果，猜想a，b，c三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．
拓展应用
(3)如图4，在□ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD＝25，
2
2
22
2
2
2
22
AB＝3，求AF的长．
解：(1)∵AF⊥BE，∠ABE＝45°， ∴AP＝BP＝
2
AB＝2. 2
∵AF，BE是△ABC的中线，
3
1
∴EF∥AB，EF＝AB＝2，
2
∴∠PFE＝∠PEF＝45°，∴PE＝PF＝1.
在Rt△FPB和Rt△PEA中，AE＝BF＝12
＋22
＝5， ∴AC＝BC＝25，∴a＝b＝25. 如答图1，连接EF. 同理可得EF＝1
2×4＝2.
∵EF∥AB，∴△PEF∽△PBA， ∴PFAP＝PEPB＝
EFAB＝1
2
.
在Rt△ABP中，AB＝4，∠ABP＝30°， ∴AP＝2，PB＝23，∴PF＝1，PE＝3. 在Rt△APE和Rt△BPF中，AE＝7，BF＝13， ∴a＝213，b＝27.
(2)猜想：a2
＋b2
＝5c2
，证明如下： 如答图2，连接EF.
设∠ABP＝α，∴AP＝csinα，PB＝ccosα， 由(1)同理可得PF＝12PA＝csinα2，PE＝1
2
PB＝
ccosα2
，
∴AE2
＝AP2
＋PE2
＝c2
sin2
α＋
c2cos2α4，
BF2＝PB2＋PF2＝c2cos2
α＋
c2sin2α4
，
2∴(b222
c2cos2αa2
csin2α22
2)＝csinα＋
4
，(2
)＝
4
＋ccosα，
∴a2b2c2sin2α2
2
2
4＋4
＝sin2
4
＋ccosα＋cα＋
c2cos2α4
，
∴a2
＋b2
＝5c2
.
(3)如答图3，连接AC，EF交于点H，AC与BE交于点Q，设BE与AF的交点为P.
4
∵点E，G分别是AD，CD的中点，∴EG∥AC. ∵BE⊥EG，∴BE⊥AC.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC＝25，∴∠EAH＝∠FCH. ∵E，F分别是AD，BC的中点， 11
∴AE＝AD，BF＝BC，
221
∴AE＝BF＝CF＝AD＝5.
2
∵AE∥BF，∴四边形ABFE是平行四边形， ∴EF＝AB＝3，AP＝PF.
∠EAH＝∠FCH，??
在△AEH和△CFH中，?∠AHE＝∠FHC，
??AE＝CF，
∴△AEH≌△CFH，∴EH＝FH，∴EP，AH分别是△AFE的中线， 由(2)的结论得AF＋EF＝5AE， ∴AF＝5(5)－EF＝16，∴AF＝4.
1
或连接F与AB的中点M，证MF垂直BP，构造出“中垂三角形”，由AB＝3，BC＝AD2＝5及(2)中的结论，直接可求AF.
4．(2017·江西)我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α(0°＜α＜180°)得到AB′，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′.当α＋β＝180°时，我们称△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，△AB′C′边B′C′上的中线AD叫做△
2
2
22
2
2
ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．
特例感知
(1)在图2，图3中，△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”． 1①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD＝BC；
2②如图3，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则AD长为4. 猜想论证
(2)在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明． 拓展应用
(3)如图4，在四边形ABCD，∠C＝90°，∠D＝150°，BC＝12，CD＝23，DA＝6.在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△PAB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△
PAB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．
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（江西专用）2019中考数学总复习 第二部分 专题综合强化 专题五 几何探究题 类型1 针对训练
