高等数学部分易混淆概念
第一章：函数与极限
一、数列极限大小的判断 例1：判断命题是否正确． 若xn?yn(n?N)，且序列xn,yn的极限存在，limxn?A,limyn?B,则A?B
n??n??解答：不正确．在题设下只能保证而limxnn??11不能保证A?B．例如：xn?,yn?，xn?yn,?n，A?B，
nn?1?limyn?0．
n??例2．选择题 设xn?zn?yn，且lim(yn?xn)?0,则limzn（ ）
n??n?? A．存在且等于零 B. 存在但不一定等于零 C．不一定存在 D. 一定不存在 答：选项C正确 分析：若limxnn???limyn?a?0，由夹逼定理可得limzn?a?0，故不选A与D.
n??n?? 取xn110，但limzn 不?(?1)n?,yn?(?1)n?,zn?(?1)n，则xn?zn?yn，且lim(yn?x)n?n??n??nn?a?yn,且lim(yn?xn)?0,则{xn}与{yn}（ ）
n??存在，所以B选项不正确，因此选C． 例3．设xn A．都收敛于a B. 都收敛，但不一定收敛于a C．可能收敛，也可能发散 D. 都发散 答：选项A正确． 分析：由于xn?a?yn,，得0?a?xn?yn?xn，又由lim(yn?xn)?0及夹逼定理得
n??lim(a?xn)?0
n?? 因此，limxnn???a，再利用lim(yn?xn)?0得limyn?a．所以选项A．
n??n??二、无界与无穷大
无界：设函数
f(x)的定义域为D，如果存在正数M，使得
f(x)?M则称函数
?x?X?D
f(x)在X上有界，如果这样的M不存在，就成函数f(x)在X上无界；也就是说如果对于任
何正数M，总存在x1?X，使
无穷大：设函数
f(x1)?M，那么函数f(x)在X上无界．
f(x)在x0的某一去心邻域内有定义（或x大于某一正数时有定义）．如果对于任意
，只要x适合不等式0?x?x0??X）
（或
给定的正数M（不论它多么大），总存在正数?（或正数，对应的函数值f(x)总满足不等式 x?X）
f(x)?M
则称函数
f(x)为当x?x0（或x??）时的无穷大．
例4：下列叙述正确的是： ② ① 如果
f(x)在x0某邻域内无界，则limf(x)??
x?x0② 如果limf(x)??，则
x?x0f(x)在x0某邻域内无界
解析：举反例说明．设
1111令xn?当n?,yn?,，??时，xn?0,yn?0，f(x)?sin，
?n?xx2n??2而
limf(xn)?lim(2n??)??? n???n???2n???? 故
limf(yn)?0
f(x)在x?0邻域无界，但x?0时f(x)不是无穷大量，则①不正确．
结论：无穷大必无界，而无界未必无穷大．
由定义，无穷大必无界，故②正确． 三、函数极限不存在?极限是无穷大
当x?x0（或x??）时的无穷大的函数
f(x)，按函数极限定义来说，极限是不存在的，但是为
了便于叙述函数的性态，我们也说“函数的极限是无穷大”．但极限不存在并不代表其极限是无穷大．
?x?1?例5：函数f(x)??0?x?1?x?0x?0x?0lim，当x?0时f(x)的极限不存在．
四、如果limf(x)?0不能退出
x?x0x?x01?? f(x)例6：f(x)???x?0x为有理数1x?0，但由于，则limf()在x?0的任一邻域的无理点均没有
x?x0f(x)x为无理数1在x?0的极限． f(x)f(x)在x0的某一去心邻域内满足f(x)?0，则lim定义，故无法讨论
结论：如果limf(x)?0，且
x?x0x?x01??．反f(x)之，
f(x)为无穷大，则
1为无穷小。 f(x)五、求函数在某点处极限时要注意其左右极限是否相等，求无穷大处极限要注意自变量取正无穷大和负无
穷大时极限是否相等。 例7．求极限limex??x,lime
x?01x解：
x???limex???,limex?0，因而x??时ex极限不存在。
x???
x?0?lime?0,lime???，因而x?0时e极限不存在。
x?0?1x1x1x六、使用等价无穷小求极限时要注意：
（1）乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换，加减运算中由于用等价无穷小替换是有条件的，故统一不用。这时，一般可以用泰勒公式来求极限。
（2）注意等价无穷小的条件，即在哪一点可以用等价无穷小因子替换 例8：求极限limx?01?x?1?x?2 2x分析一：若将错误。
1?x?1?x?2写成(1?x?1)?(1?x?1)，再用等价无穷小替换就会导致
分析二：用泰勒公式
11(?)122x2??(x2))1?x?1?x?(1?x?22!11(?)122x2??(x2))?2 ?(1?x?22!1??x2??(x2)41?x2??(x2)1??原式?4。
x24例9：求极限limsinx
x??x解：本题切忌将sinx用x等价代换，导致结果为1。
limsinxsin???0
x??x?f(x)在x?x0间断，g(x)在x?x0连续，则f(x)?g(x)在x?x0间断。而
七、函数连续性的判断
（1）设
在f(x)?g(x),2f(x),f(xx)?x0可能连续。
例10．设
?0f(x)???1x?0，g(x)?sinx，则f(x)在x?0间断，g(x)在x?0连续，x?0f(x)?g(x)?f(x)?sinx?0在x?0连续。
若设
?1f(x)????1x?02，f(x)在x?0间断，但f(x)?f(x)?1在x?0均连续。 x?0（2）“
f(x)在x0点连续”是“f(x)在x0点连续”的充分不必要条件。
x?x0分析：由“若limf(x)?a，则
x?x0limfx(?)a”可得“如果limf(x)?f(x0)，则
x?x0x?x0limfx(?)fx0(”)因此，f(x)在x0点连续，则f(x)在x0点连续。再由例10可得，f(x)在x0，
f(x)在x0点连续。
点连续并不能推出
（3）?(x)在x不一定成立。
?x0连续，f(u)在u?u0??(x0)连续，则f(?(x))在x?x0连续。其余结论均
第二章 导数与微分
一、函数可导性与连续性的关系
可导必连续，连续不一定可导。 例11．二、
f(x)?x在x?0连读，在x?0处不可导。
f(x)与f(x)可导性的关系
（1）设
f(x0)?0，f(x)在x?x0连续，则f(x)在x?x0可导是f(x)在x?x0可导的充要条
件。
（2）设
f(x0)?0，则f?(x0)?0是f(x)在x?x0可导的充要条件。
三、一元函数可导函数与不可导函数乘积可导性的讨论
设F(x)?g(x)?(x)，?(x)在x?a连续，但不可导，又g?(a)存在，则g(a)?0是F(x)在x?a可导的充要条件。
分析：若g(a)?0，由定义
F?(a)?limF(x)?F(a)g(x)?(x)?g(a)?(a)g(x)?g(a)?lim?lim?(x)?g?(a)?(a)
x?ax?ax?ax?ax?ax?aF(x)g(x)反之，若F?(a)存在，则必有g(a)?0。用反证法，假设g(a)?0，则由商的求导法则知?(x)?在x?a可导，与假设矛盾。
利用上述结论，我们可以判断函数中带有绝对值函数的可导性。 四、在某点存在左右导数时原函数的性质
（1）设
f(x)在x?x0处存在左、右导数，若相等则f(x)在x?x0处可导；若不等，则f(x)在
x?x0连续。
（2）如果
f(x)在(a,b)内连续，x0?(a,b)，且设limf?(x)?limf?(x)?m,则f(x)在
x?x0?x?x0?x?x0处必可导且f?(x0)?m。
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