测量学(甲) 第五章 测量误差及测量平差 赵良荣
§5.6 等精度观测的直接平差
一、求最可靠值 1.算术平均值
若对某一量进行n次等精度观测，观测值为l1,l2,…,ln,则这些观测值的算术平均值x为：
l?l?????ln[l]x?12?nn
2.等精度观测值的最可靠值
算术平均值有什么作用呢？ 设该量的真值为Ｘ，则有：
△1=l1—X △2=l2—X ． ． △n=ln—X 上式相加得：
?1??2??????nl1?l2?????ln??Xnn????l?即：??Xnn根据偶然误差的特性４，当n→∞时，即Ｘ＝x，表明当观测次数无限多时，算术平均值就是该值的真值，实际上观测次数总是有限的，在这种情况下，算术平均值与真值之间只差一个微小量［△］/n，所以算术平均值是观测值的最可靠值。 二、精度评定
当被观测量的真值知道时，可用下式计算中误差：
[??]n 若被观测量的真值不知道时，则应用下式计算中误差：
m??[vv]n?1 v为观测值的改正数。
m??
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测量学(甲) 第五章 测量误差及测量平差 赵良荣 1.观测值的改正数 观测值的算术平均值与观测值之差，称为观测值的改正数。当观测次数为n时，有：
v1= x—l1
v2= x—l2 …… ⑴
vn= x—ln 将上式相加得：
［v］＝n·x —[l ]=0, 即［v］=0, 用于计算检核。 2.观测值的中误差
在实际测量中，某量的真值往往是不知道的，因此要先求出算术平均值，再得出改正数，按下式计算中误差： 其推导过程为：
设对真值为Ｘ的某一量进行n次等精度观测，则有 △1＝l1—Ｘ
△2＝l2—Ｘ ……⑵
△n＝ln—Ｘ ⑵－⑴并移项得：
△1＝—v1—(Ｘ—x)
△2＝—v2—(Ｘ—x) ……⑶
△n＝—vn—(Ｘ—x) ⑶式两边平方后再相加得：
[△△]=[vv]+n(X—x)2+2(X—x)[v] 即得 [△△]=[vv]+n(X—x)2
式中（X-x）是算术平均值的真误差，无法求得，用算术平均值中误差M代替，上式两边同除n得：
[??][vv]m2??nnn[??]将m2?代入上式，得：n[vv]m22m??nn[vv]整理得：m??n?1该式即为当真值未知时用改正数计算观测值中误差的计算公式。n-1为多余观测数。
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例：对某距离丈量了５次，结果为：15.154m，15.158m，15.155m， 15.156m，15.157m。求观测值中误差及相对中误差。 解：先求出算术平均值：
[l]0?4?1?2?3x??15154??15156mm?15.156mn5 再求改正数：
v12=(15156-15154)2=4 v22=4， v32=1， v42=0，v52=1
[vv]=10
?m??[vv]10????2.5??1.58mmn?15?1m1T??l9600
3.算术平均值的中误差
设对某量进行n次等精度观测，观测值中误差为m，则算术平均值的中误差Ｍ为：M?x?m，其推导过程如下： n[l]l1?l2?????ln111??l1?l2?????l nnnnn111222M??()2m1?()2m2?????()2mn
nnn因为m1?m2?m3??m,则有：122m2M??n?()m??nnm即M?n
从上式可看出，取多次观测值的平均值可以提高观测结果的精度。 在实际测量工作中，不能单凭增加观测次数来提高精度，而应选用适当的观测方法和观测次数来达到要求。P.100
例：已知DJ6光学经纬仪一测回方向值中误差为±6″，现用DJ6光学经纬仪观测某单角，使最后得到的角值中误差达到±4″，问需要观测几各测回？
解：根据误差传播定理，一测回观测单角的中误差为：
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m??m22?(?6??）2方?m方??2??8.5? 再根据M?mn
则有n???m?2?M???4.5 所以要观测5个测回。
作业题：习题五： 2、6、9、10、11、13、14 9
第五章 测量误差及测量平差
