一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）
1．如图，△ABC 中，AB=AC=BC，∠BDC=120°且BD=DC，现以D为顶点作一个60°角，使角两边分别交AB，AC边所在直线于M，N两点，连接MN，探究线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明．
（1）如图1，若∠MDN的两边分别交AB，AC边于M，N两点．猜想：BM+NC=MN．延长AC到点E，使CE=BM，连接DE，再证明两次三角形全等可证．请你按照该思路写出完整的证明过程；
（2）如图2，若点M、N分别是AB、CA的延长线上的一点，其它条件不变，再探究线段BM，MN，NC之间的关系，请直接写出你的猜想（不用证明）．
【答案】（1）过程见解析；（2）MN= NC﹣BM． 【解析】 【分析】
（1）延长AC至E，使得CE=BM并连接DE，根据△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，可以证得△MBD≌△ECD，可得MD=DE，∠BDM=∠CDE，再根据∠MDN =60°，∠BDC=120°，可证∠MDN =∠NDE=60°，得出△DMN≌△DEN，进而得到MN=BM+NC．
（2）在CA上截取CE=BM，利用（1）中的证明方法，先证△BMD≌△CED（SAS），再证△MDN≌△EDN（SAS），即可得出结论． 【详解】
解：（1）如图示，延长AC至E，使得CE=BM，并连接DE．
∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形， ∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°， 又BD=DC，且∠BDC=120°， ∴∠DBC=∠DCB=30°
∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°， ∴∠MBD=∠ECD=90°， 在△MBD与△ECD中，
BDCDECD ， CE∵
MBDBM∴△MBD≌△ECD（SAS）， ∴MD=DE，∠BDM=∠CDE ∵∠MDN =60°，∠BDC=120°，
-60°=60°∴∠CDE+∠NDC =∠BDM+∠NDC=120°， 即：∠MDN =∠NDE=60°， 在△DMN与△DEN中，
MDDEEDN ， DN∵MDNDN∴△DMN≌△DEN（SAS）， ∴MN=NE=CE+NC=BM+NC．
（2）如图②中，结论：MN=NC﹣BM．
理由：在CA上截取CE=BM． ∵△ABC是正三角形， ∴∠ACB=∠ABC=60°， 又∵BD=CD，∠BDC=120°， ∴∠BCD=∠CBD=30°， ∴∠MBD=∠DCE=90°， 在△BMD和△CED中
BMCEECD ， CD∵
MBDBD∴△BMD≌△CED（SAS）， ∴DM= DE，∠BDM=∠CDE ∵∠MDN =60°，∠BDC=120°，
∴∠NDE=∠BDC-（∠BDN+∠CDE）=∠BDC-（∠BDN+∠BDM）=∠BDC--60°=60°∠MDN=120°， 即：∠MDN =∠NDE=60°， 在△MDN和△EDN中
NDNDMDN ， ND∵
EDNND∴△MDN≌△EDN（SAS）， ∴MN =NE=NC﹣CE=NC﹣BM． 【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
2．如图1，在△ACB和△AED中，AC＝BC，AE＝DE，∠ACB＝∠AED＝90°，点E在AB上，F是线段BD的中点，连接CE、FE．
（1）请你探究线段CE与FE之间的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）； （2）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转，使△AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在同一条直线上（如图2），连接BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转任意的角度（如图3），连接BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．
【答案】（1）线段CE与FE之间的数量关系是CE＝2FE；（2）（1）中的结论仍然成立．理由见解析；（3）（1）中的结论仍然成立．理由见解析 【解析】 【分析】
（1）连接CF，直角△DEB中，EF是斜边BD上的中线，因此EF=DF=BF，∠FEB=∠FBE，同理可得出CF=DF=BF，∠FCB=∠FBC，因此CF=EF，由于∠DFE=∠FEB+∠FBE=2∠FBE，同理∠DFC=2∠FBC，因此∠EFC=∠EFD+∠DFC=2（∠EBF+∠CBF）=90°，因此△EFC是等腰直角三角形，CF=2EF；
（2）思路同（1）也要通过证明△EFC是等腰直角三角形来求解．连接CF，延长EF交CB于点G，先证△EFC是等腰三角形，可通过证明CF是斜边上的中线来得出此结论，那么就要证明EF=FG，就需要证明△DEF和△FGB全等．这两个三角形中，已知的条件有一组对顶角，DF=FB，只要再得出一组对应角相等即可，我们发现DE∥BC，因此∠EDB=∠CBD，由此构成了两三角形全等的条件．EF=FG，那么也就能得出△CFE是个等腰三角形了，下面证明△CFE是个直角三角形．由上面的全等三角形可得出ED=BG=AD，又由AC=BC，因此CE=CG，∠CEF=45°，在等腰△CFE中，∠CEF=45°，那么这个三角形就是个等腰直角三角形，因此就能得出（1）中的结论了；
（3）思路同（2）通过证明△CFE来得出结论，通过全等三角形来证得CF=FE，取AD的中点M，连接EM，MF，取AB的中点N，连接FN、CN、CF．那么关键就是证明△MEF和△CFN全等，利用三角形的中位线和直角三角形斜边上的中线，我们不难得出EM=PN=
11AD，EC=MF=AB，我们只要再证得两对应边的夹角相等即可得出全等的结22论．我们知道PN是△ABD的中位线，那么我们不难得出四边形AMPN为平行四边形，那么对角就相等，于是90°+∠CNF=90°+∠MEF，因此∠CNF=∠MEF，那么两三角形就全等了．证明∠CFE是直角的过程与（1）完全相同．那么就能得出△CEF是个等腰直角三角形，于是得出的结论与（1）也相同． 【详解】
（1）如图1，连接CF，线段CE与FE之间的数量关系是CE＝2FE； 解法1：
∵∠AED＝∠ACB＝90° ∴B、C、D、E四点共圆 且BD是该圆的直径， ∵点F是BD的中点， ∴点F是圆心， ∴EF＝CF＝FD＝FB，
∴∠FCB＝∠FBC，∠ECF＝∠CEF， 由圆周角定理得：∠DCE＝∠DBE， ∴∠FCB+∠DCE＝∠FBC+∠DBE＝45° ∴∠ECF＝45°＝∠CEF， ∴△CEF是等腰直角三角形， ∴CE＝2EF． 解法2：
易证∠BED＝∠ACB＝90°， ∵点F是BD的中点， ∴CF＝EF＝FB＝FD，
∵∠DFE＝∠ABD+∠BEF，∠ABD＝∠BEF， ∴∠DFE＝2∠ABD， 同理∠CFD＝2∠CBD，
∴∠DFE+∠CFD＝2（∠ABD+∠CBD）＝90°， 即∠CFE＝90°， ∴CE＝2EF．
（2）（1）中的结论仍然成立．
解法1：如图2﹣1，连接CF，延长EF交CB于点G， ∵∠ACB＝∠AED＝90°， ∴DE∥BC， ∴∠EDF＝∠GBF，
又∵∠EFD＝∠GFB，DF＝BF， ∴△EDF≌△GBF，
北京中国人民大学附属外国语中学数学全等三角形章末练习卷(Word版 含解析)
