欧阳科创编 2024.02.05
§3.2.1几种函数增长快慢的比较
时间：2024.02.05 创作：欧阳科 教学目标：（1）掌握几种常用函数增长快慢的比较方法
（2）熟悉几种常用函数增长快慢的一般规
律
教学重点与难点：
重点：函数增长快慢比较的常用途径； 难点：了解影响函数增长快慢的因素. 教学方法：
合作交流与知识讲授相结合，通过学习熟悉的几种常见函
数增长快慢的比较，体会比较方法。
教学过程：
一、提出问题引入课题
y?x与y?x4y y?x4观察函数在 [0，+∞）上的图象，
O y y?x 说明在不同区间内，
16 x 函数增长的快慢情况.在同一坐标中函数图象如右： 结论：若0＜x＜16则x?x4 若x＞16则x?x4
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师：增函数的共同特点是函数值y随自变量x的增长而增长，但不同函数在同一区间内的增长快慢是
否相同？
师生合作观察研究函数①x∈(0，16)时，y?较快
②x?(16,??)时，y?xy?x与y?x4的增长快慢.
y?
x4
x的图象在图象上方可知y?x增长
的图在
y?
x4
图象下方，可知
y?
x4
增长较快
二、问题引入课题，激发学习兴趣.
幂、指对函数增长快慢比较形成比较方法. 1．实例探究：
比较函数y=2，y= x，y = log2x的增长快慢. 方法：①作图，列表比较、验证
②应用二分法求2 = x的根，即y = 2与y = x的交点横坐标.
2．规律总结
①一般地，对于指数函数y=a(a＞1)和幂函数y=x(n＞0)，在区间(0,??)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，a会小于x，但由于a的增长快于x的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有a＞x.
②对于对数函数y=logax(a＞1)和幂函数y = x(n＞0)在区间
(0,??)上，随着
nxnxnxnxnx2
x2
x2
x的增大，logax增长得越来越慢.在x的一定
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变化范围内，logax可能会大于x，但由于logax的增长慢于
nxn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax＜x.
③在区间(0,??)上，尽管函数y = a(a＞1)，y = logax(a＞1)和
xny = xn(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不
在同一个“档次”上.随着x的增长，y = a(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y = x(n＞0)的增长速度，而y = logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢.因此，总会存在一个
nxx0，当x＞x0时，就有logax＜xn＜ax.
师生合作：借助计算机作图，列表，进行探究
①
列表
0.2 1.149 0.04 –2.322 2.2 4.595 4.84 1.138
0.6 1.516 0.36 –0.737 2.6 6.063 6.76 1.379
1.0 2 1 0 3.0 8
9 1.585
1.4 2.639 1.96 0.485 3.4
10.556
11.56 1.766
1.8 3.482 3.24 0.848 … … … …
x y=2x y=x2 y=log2x x y=2x y=x2 y=log2x
②作图 ③结论
x∈R时log2x＜x2，且log2x＜2x.
进一步探究y = x与y = 2的增长快慢. ①列表
x y=2x y=x2 x y=2x y=x2
0 1 0 5 32 25
1 2 1 6 64 36
2 4 4 7 128 49
3 8 9 8 256 64
4 16 16 … … …
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