第38讲解析几何大题特训
3
1.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的
2直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；
????????
（2）若AP?3PB，求|AB|．【答案】（1）y?
37
（2）413.x?；
2833
x?t,A?x1,y1?,B?x2,y2?．2【解析】设直线l:y?
35?3?
（1）由题设得F?,0?，故|AF|?|BF|?x1?x2?，由题设可得x1?x2?．
22?4?
3?
12(t?1)?y?x?t
，可得9x2?12(t?1)x?4t2?0，则x1?x2??．由?292??y?3x
从而?
12(t?1)57
?，得t??．92837
x?．28
所以l的方程为y?
????????
（2）由AP?3PB可得y1??3y2．
3?y?x?t?由?，可得y2?2y?2t?0．2
2??y?3x
所以y1?y2?2．从而?3y2?y2?2，故y2??1,y1?3．
1代入C的方程得x1?3,x2?．
3故|AB|?
413．3【名师点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及平面向量、弦长的求解方法，解题关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，利用根与系数的关系构造等量关系.
2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知点A(?2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满
足直线AM与BM的斜率之积为?.记M的轨迹为曲线C.
21（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂
足为E，连结QE并延长交C于点G.（i）证明：△PQG是直角三角形；（ii）求△PQG面积的最大值.【答案】（1）见解析；（2）
16
.9
yy1x2y2【解析】（1）由题设得???，化简得??1(|x|?2)，所以
x?2x?2242
C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．（2）（i）设直线PQ的斜率为k，则其方程为y?kx(k?0)．
?y?kx
2?22x??由?x得．y21??1?2k?
2?4记u?
21?2k2，则P(u,uk),Q(?u,?uk),E(u,0)．
kk
，方程为y?(x?u)．22
于是直线QG的斜率为
k?
y?(x?u),??2由?2得2?x?y?1?2?4
(2?k2)x2?2uk2x?k2u2?8?0．①
2?2)u(3k
设G(xG,yG)，则?u和xG是方程①的解，故xG?，由此得22?kuk3．yG?22?kuk3?uk212?k??从而直线PG的斜率为．
u(3k2?2)k
?u22?k所以PQ?PG，即△PQG是直角三角形．
22ukk?1，所以△PQG的面积（ii）由（i）得|PQ|?2u1?k，|PG|?
2?k2218(?k)
18k(1?k)k‖PG|??S?|PQ．222(1?2k)(2?k)1?2(1?k)2
k2
设t=k+
1
，则由k>0得t≥2，当且仅当k=1时取等号．k8t
在[2，+∞）单调递减，所以当t=2，即k=1时，S取得最大1?2t216．9
16．9
因为S?
值，最大值为
因此，△PQG面积的最大值为
【名师点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，以及利用直线与椭圆的位置关系，判断三角形形状以及三角形面积最大值问题，考查了数学运算能力，考查了求函数最大值问题.
1x2
3．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线C：y=，D为直线y=?上的动
22点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.
（1）证明：直线AB过定点：（2）若以E(0，
5
)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，2
求四边形ADBE的面积.
【答案】（1）见详解；（2）3或42.1??
【解析】（1）设D?t,??,
2??
A?x1,y1?，则x12?2y1.
y1?
1
2?x.由于y'?x，所以切线DA的斜率为x1，故1x1?t整理得2 tx1?2 y1+1=0.
设B?x2,y2?，同理可得2tx2?2 y2+1=0.故直线AB的方程为2tx?2y?1?0.
1
所以直线AB过定点(0,).
2（2）由（1）得直线AB的方程为y?tx?
1?
y?tx???22
，可得由?x?2tx?1?0.2
?y?x?2?
1
.2于是x1?x2?2t,x1x2??1,y1?y2?t?x1?x2??1?2t2?1，
|AB|?1?t2x1?x2?1?t2??x1?x2??4x1x2?2?t2?1?.
2设d1,d2分别为点D，E到直线AB的距离，则d1?t2?1,d2?因此，四边形ADBE的面积S?
1
|AB|?d1?d2???t2?3?t2?1.2
2t?12.
1??
设M为线段AB的中点，则M?t,t2??.
2??
??????????????????2
由于EM?AB，而EM??t,t?2?，所以t??t2?2?t?0.AB与向量(1, t)平行，
解得t=0或t??1.
当t=0时，S=3；当t??1时，S?42.因此，四边形ADBE的面积为3或42.
【名师点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题，第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班地求解就可以，思路较为清晰，但计算量不小.4．【2019年高考北京卷理数】已知抛物线C：x2=?2py经过点（2，?1）．
（1）求抛物线C的方程及其准线方程；
（2）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=?1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．
【答案】（1）抛物线C的方程为x2??4y，准线方程为y?1；（2）见解析.【解析】（1）由抛物线C:x2??2py经过点(2,?1)，得p?2.所以抛物线C的方程为x2??4y，其准线方程为y?1.（2）抛物线C的焦点为F(0,?1).设直线l的方程为y?kx?1(k?0).
?y?kx?1,由?2得x2?4kx?4?0.?x??4y
设M?x1,y1?,N?x2,y2?，则x1x2??4.直线OM的方程为y?
y1x.x1
x1.y1
令y??1，得点A的横坐标xA??
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