小结： 向量的数量积（结果是一个数量）向量的向量积（结果是一个向量）（注意共线、
共面的条件） 作业：
第三节 平面及其方程
教学目的：介绍最简单也是非常常用的一种曲面——平面，平面是本书非常重
要的一节，本节让学生了解平面的各种表示方法，学生在学习时领会各种特殊位置平面的表示方法，会求出各种位置上的平面，了解平面与其法向量之间的关系。
教学重点：1.平面方程的求法 2.两平面的夹角
教学难点：平面的几种表示及其应用 教学内容：
一、平面的点法式方程
1．平面的法线向量定义：垂直于一平面的非零向量叫做平面的法线向量。
平面内的任一向量均与该平面的法线向量垂直。
2．平面的点法式方程
已知平面上的一点M0(x0,y0,z0)和它的一个法线向量n?{A,B,C}，对平面上的任一点
M(x,y,z)，有向量M0M?n，即
n?M0M?0
代入坐标式有：
A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0
此即平面的点法式方程。
（1）
例1：求过三点M1（2，－1，4）、M2（－1，3，－2）和M3（0，2，3）的平面方程。
解：先找出这平面的法向量n，
i
jk?1n?M1M2?M1M3??34?6?14i?9j?k
?23 由点法式方程得平面方程为
14(x?2)?9(y?1)?(z?4)?0
即：
14x?9y?z?15?0
二、 平面的一般方程
任一平面都可以用三元一次方程来表示。
平面的一般方程为：
Ax?By?Cz?D?0
几个平面图形特点：
1）D＝0：通过原点的平面。
2）A＝0：法线向量垂直于x轴，表示一个平行于x轴的平面。 同理：B＝0或C＝0：分别表示一个平行于y轴或z轴的平面。
3）A＝B＝0：方程为CZ?D?0，法线向量{0,0,C}，方程表示一个平行于xoy面的平面。
同理：AX?D?0和BY?D?0分别表示平行于yoz面和xoz面的平面。 4）反之：任何的三元一次方程，例如：5x?6y?7z?11?0都表示一个平面，该平面的法向量为n?{5,6,?7}
例2：设平面过原点及点(6,?3,2)，且与平面4x?y?2z?8垂直，求此平面方程。 解：设平面为Ax?By?Cz?D?0，由平面过原点知D?0
由平面过点(6,?3,2)知6A?3B?2C?0，
?2?n?{4,?1,2} ?4A?B?2C?0 ?A?B??C
3所求平面方程为2x?2y?3z?0三．两平面的夹角 定义：两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角。
设平面?1:A1x?B1y?C1z?D1?0，?2:A2x?B2y?C2z?D2?0
??n1?{A1,B1,C1}， n2?{A2,B2,C2}按照两向量夹角余弦公式有：
cos??|A1A2?B1B2?C1C2|A1?B1?C1?A2?B2?C2222222
三、几个常用的结论
设平面1和平面2的法向量依次为n1?{A1,B1,C1}和n2?{A2,B2,C2} 1) 两平面垂直：A1A2?B1B2?C1C2?0 2) 两平面平行：
（法向量垂直）
A1B1C1?? A2B2C2 （法向量平行）
3) 平面外一点到平面的距离公式：设平面外的一点P0(x0,y0,z0)，平面的方程为
Ax?By?Cz?D?0，则点到平面的距离为
d?Ax0?By0?Cz0?DA?B?C222
例3：研究以下各组里两平面的位置关系：(1)?x?2y?z?1?0,y?3z?1?0
(2)2x?y?z?1?0,(3)2x?y?z?1?0,解：(1)cos???4x?2y?2z?1?0 ?4x?2y?2z?2?0
|?1?0?2?1?1?3|(?1)?2?(?1)?1?31 6022222?160，
两平面相交，夹角??arccos n1?{2,?1,1}，n2?{?4,2,?2} ?两平面平行
??2?11 ???42?2?M(1,1,0)??1（3）?M(1,1,0)??2
两平面平行但不重合。
2?1?1?? ?422 两平面平行
?M(1,1,0)??1M(1,1,0)??2 所以两平面重合小结：平面的方程三种常用
表示法：点法式方程，一般方程，截距式方程。
两平面的夹角以及点到平面的距离公式。 作业：
第四节 空间直线及其方程
教学目的：介绍空间曲线中最常用的直线，与平面同为本章的重点 教学重点：1.直线方程
2.直线与平面的综合题
教学难点：1.直线的几种表达式
2.直线与平面的综合题
教学内容：
一、空间直线的一般方程
空间直线可以看成是两个平面的交线。故其一般方程为：
?A1x?B1y?C1z?D1?0 ??A2x?B2y?C2z?D2?0二、空间直线的对称式方程与参数方程
平行于一条已知直线的非零向量叫做这条直线的方向向量。
已知直线上的一点M0(x0,y0,z0)和它的一方向向量s?{m,n,p}，设直线上任一点为
M(x,y,z)，那么M0M与s平行，由平行的坐标表示式有： x?x0y?y0z?z0?? mnp此即空间直线的对称式方程（或称为点向式方程）。（写时参照书上注释）
如设
x?x0y?y0z?z0???t mnp就可将对称式方程变成参数方程（t为参数）
?x?x0?mt??y?y0?nt ?z?z?pt0?三种形式可以互换，按具体要求写相应的方程。 例1：用对称式方程及参数方程表示直线??x?y?z?1?0
?2x?y?3z?4?0
第八章向量代数与空间解析几何教案(同济大学版高数)
