第八章 向量代数与空间解析几何
第一节 向量及其线性运算
教学目的:将学生的思维由平面引导到空间,使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。使学生对(自由)向量有初步了解,为后继内容的学习打下基础。 教学重点:1.空间直角坐标系的概念
2.空间两点间的距离公式 3.向量的概念 4.向量的运算
教学难点:1.空间思想的建立 2.向量平行与垂直的关系 教学内容:
一、向量的概念
1.向量:既有大小,又有方向的量。在数学上用有向线段来表示向量,其长度表示向量的大小,其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由向量(以后简称向量)。
2. 量的表示方法有: a、i、F、OM等等。
3. 向量相等a?b:如果两个向量大小相等,方向相同,则说(即经过平移后能完全重合的向量)。
4. 量的模:向量的大小,记为a、OM。
模为1的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。
5. 量平行a//b:两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平行。
6. 负向量:大小相等但方向相反的向量,记为?a 二、向量的线性运算
1.加减法a?b?c: 加法运算规律:平行四边形法则(有时也称三角形法则),其满足的运算规律有交换率和结合率见图7-4
?b?c?a
2.a?b?c 即a?(?b)?c
3.向量与数的乘法?a:设?是一个数,向量a与?的乘积?a规定为
(1)??0时,?a与a同向,|?a|??|a| (2)??0时,?a?0
(3)??0时,?a与a反向,|?a|?|?||a|
其满足的运算规律有:结合率、分配率。设a表示与非零向量a同方向的单位向量,那么
0a0?a a定理1:设向量a≠0,那么,向量b平行于a的充分必要条件是:存在唯一的实数λ,
使b=?a
例1:在平行四边形ABCD中,设AB?a,AD?b,试用
a和b表示向量MA、MB、MC和MD,这里M是平行
四边形对角线的交点。(见图7-5) 图7-4
解:a?b?AC?2AM,于是MA??由于MC??MA, 于是MC????
???1(a?b) 21(a?b) 2???1又由于?a?b?BD?2MD,于是MD?(b?a)
2???1由于MB??MD, 于是MB??(b?a)
2三、空间直角坐标系
1.将数轴(一维)、平面直角坐标系(二维)进一步推广建立空间直角坐标系(三维)如图7-1,其符合右手规则。即以右手握住z轴,当右手的四个手指从正向x轴以转向正向y轴时,大拇指的指向就是z轴的正向。
?角度2
2. 间直角坐标系共有八个卦限,各轴名称分别为:x轴、y轴、z轴,坐标面分别
zox面。为xoy面、坐标面以及卦限的划分如图7-2所示。图7-1右手规则演示 图yoz面、
7-2空间直角坐标系图 图7-3空间两点M1M2的距离图3.空间点M(x,y,z)的坐标表示方法。
通过坐标把空间的点与一个有序数组一一对应起来。 注意:特殊点的表示
a)在原点、坐标轴、坐标面上的点;
b)关于坐标轴、坐标面、原点对称点的表示法。4.空间两点间的距离。 若
M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)为空间任意两点, 则M1M2的距离(见图7-3),利用
直角三角形勾股定理为:
d2?M1M222?M1N?NM22222
?M1p?pN?NM2而 M1P?x2?x1
PN?y2?y1
NM2?z2?z1
所以
d?M1M2?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2
特殊地:若两点分别为M(x,y,z),o(0,0,0)
d?oM?x2?y2?z2
例1:求证以M1(4,3,1)、M2(7,1,2)、M3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。 证明: M1M2
2?(4?7)2?(3?1)2?(1?2)2?14
2 M2M32?(5?7)2?(2?1)2?(3?2)2?6
M3M1?(5?4)2?(2?3)2?(3?1)2?6
由于 M2M3?M3M1,原结论成立。
例2:设P在x轴上,它到P1(0,2,3)的距离为到点P2(0,1,?1)的距离的两倍,求点P的坐标。
解:因为P在x轴上,设P点坐标为(x,0,0)
2 PP1?x??2?2?32?x2?11PP2?x2???1??12?x2?2
222?PP1?2PP2 ?x?11?2x?2
?x??1
所求点为:(1,0,0),(?1,0,0) 四、利用坐标系作向量的线性运算
1.向量在坐标系上的分向量与向量的坐标
通过坐标法,使平面上或空间的点与有序数组之间建立了一一对应关系,同样地,为了沟通数与向量的研究,需要建立向量与有序数之间的对应关系。
设a =M1M2是以M1(x1,y1,z1)为起点、M2(x2,y2,z2)为终点的向量,i、j、k分
别表示 图7-5
沿x,y,z轴正向的单位向量,并称它们为这一坐标系的基本单位向量,由图7-5,并应用向量的加法规则知:
M1M2?(x2?x1)i + (y2?y1)j+(z2?z1)k
或
a = ax i + ayj + azk
上式称为向量a按基本单位向量的分解式。
有序数组ax、ay、az与向量a一一对应,向量a在三条坐标轴上的投影ax、ay、az就
叫做向量a的坐标,并记为
a = {ax,ay,az}。
上式叫做向量a的坐标表示式。
于是,起点为M1(x1,y1,z1)终点为M2(x2,y2,z2)的向量可以表示为
M1M2?{x2?x1,y2?y1,z2?z1}
特别地,点M(x,y,z)对于原点O的向径
OM?{x,y,z}
注意:向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别。
向量a在坐标轴上的投影是三个数ax、ay、az,
向量a在坐标轴上的分向量是三个向量ax i 、 ayj 、 azk. 2.向量运算的坐标表示 则
(1) 加法: a?b?(ax?bx)i?(ay?by)j?(az?bz)k ◆ 减法: ◆ 乘数: ◆ 或
设a?{ax,ay,az},b?{bx,by,bz}即a?axi?ayj?azk,b?bxi?byj?bzk
a?b?(ax?bx)i?(ay?by)j?(az?bz)k
?a?(?ax)i?(?ay)j?(?az)k
a?b?{ax?bx,ay?by,az?bz} a?b?{ax?bx,ay?by,az?bz}
?a?{?ax,?ay,?az}
◆ 平行:若a≠0时,向量b//a相当于b??a,即
{bx,by,bz}??{ax,ay,az}
也相当于向量的对应坐标成比例即
bxbybz ??axayaz五、向量的模、方向角、投影
设a?{ax,ay,az},可以用它与三个
坐标轴的夹角?、?、?(均大于等于0,小于等于?)来表示它的方向,称?、?、?cos?、cos?称为方向余弦。 为非零向量a的方向角,见图7-6,其余弦表示形式cos?、
第八章向量代数与空间解析几何教案(同济大学版高数)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)