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2024-2024学年高中数学课时跟踪检测六组合的应用习题课

由天下分享时间：2025/2/3 1:07:27 加入收藏我要投稿点赞

课时跟踪检测六

一、题组对点训练

对点练一有限制条件的组合问题

1．某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度要启动的项目，则重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法的种数是( )

A．15 C．60

B．45 D．75

解析：选C 从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目共有C4C6＝90种不同的选法，重点项目A和一般项目B都不被选中的不同选法有C3C5＝30(种)，所以重点项目A和一般项目

B至少有一个被选中的不同选法的种数是90－30＝60.

2．某计算机商店有6台不同的品牌机和5台不同的兼容机，从中选购5台，且至少有品牌机和兼容机各2台，则不同的选购方法有( )

A．1 050种 C．350种

B．700种 D．200种

解析：选C 分两类：(1)从6台不同的品牌机中选3台和从5台不同的兼容机中选2台； (2)从6台不同的品牌机中选2台和从5台不同的兼容机中选3台．所以有C6C5＋C6C5＝350种不同的选购方法．

3．某校开设9门课程供学生选修，其中A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门．学校规定，每位同学选修4门，共有________种不同的选修方案．(用数字作答)

解析：分两类，一类是选A，B，C中的一门，则有C3C6种选法；另一类是不选A，B，C，则有C6种选法，故共有C6＋C3C6＝75种不同的选修方案．

答案：75

4．在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？

(1)任意选5人；

(2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加； (5)甲、乙、丙三人至少1人参加．解：(1)C12＝792种不同的选法．

(2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有C9＝36种不同的选法． (3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有C9＝126种不同的选法． (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，分两步，先从甲、乙、丙中选1人，有C3＝3种选法，再从另外的9人中选4人有C9种选法，共有C3C9＝378种不同的选法．

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(5)法一(直接法)可分为三类：

第一类，甲、乙、丙中有1人参加，共有C3C9种不同的选法；第二类，甲、乙、丙中有2人参加，共有C3C9种不同的选法；第三类，甲、乙、丙3人均参加，共有C3C9种不同的选法；共有C3C9＋C3C9＋C3C9＝666种不同的选法．

法二：(间接法)12人中任意选5人共有C12种，甲、乙、丙三人不能参加的有C9种，所以共有C12－C9＝666种不同的选法．

对点练二分组(分配)问题

5．若将9名会员分成三组讨论问题，每组3人，共有不同的分组方法种数有( ) A．C9C6 C9C6C.3 A3

33335

2314

B．A9A6 D．A9A6A3

333

C9C6

解析：选C 此题为平均分组问题，有3种分法．

6．为调查某商品当前的市场价格，国家统计局将5位调查员分成三组，其中两组各2人，另一组1人，分赴三个不同的地区进行商品价格调查，则不同的分配方案有( )

A．90种 C．30种

B．180种 D．15种

C5C3

解析：选A 将5位调查员分成三组，其中两组各2人，另一组1人，有2种不同的分A2

C5C33

法，再将其分到三个不同地区，有A种不同的分法，所以不同的分配方案的种数为2·A3＝

90，故选A.

7．某中学实习的5名大学毕业生需到A，B，C，D 4个班级当辅导员，每班至少一名辅导员，且A班必须有两名辅导员，则不同的分配方法有多少种？

C5·C3·C2·C12

解：第一步，把5名大学毕业生分成人数为2,1,1,1的四份，有＝C5种分法； 3

A3第二步，把分好的四份分配给A，B，C，D 4个班级，有A3种分法．根据分步乘法计数原理，可得总共的分配方法种数为C5A3＝60种．对点练三排列、组合的综合问题

8．从甲、乙等5人中选出3人排成一列，则甲不在排头的排法种数是( ) A．12 C．36

B．24 D．48

解析：选D ①若不选甲，则排法种数为A4＝24；②若选甲，则先从后两个位置中选一个

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给甲，再从其余的4人中选2人排列．排法种数为C2A4＝24.由分类加法计数原理，可得不同的排法种数为24＋24＝48.故选D.

9．从8个不同的数中选出5个数构成函数f(x)(x∈{1,2,3,4,5})的值域，如果这8个不同的数中的A，B两个数不能是x＝5对应的函数值，那么不同的选法种数为( )

A．C8A6 C．C6A7

1423

B．C7A7 D．无法确定

解析：选C 自变量有5个，函数值也是5个不同的数，因此自变量与函数值只能一一对应，不会出现多对一的情形．因为A，B两个数不能是x＝5对应的函数值，所以先从余下6个数中选出与5对应的函数值，有C6种方法，再从其他7个数中选出4个数排列即可，故不同的选法共有C6A7种，故选C.

10．有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒子内． (1)共有几种放法？

(2)恰有2个盒子不放球，有几种放法？解：(1)4＝256(种)．

(2)恰有2个盒子不放球，也就是把4个不同的小球只放入2个盒子中，有两类放法；第一类，1个盒子放3个小球，1个盒子放1个小球，先把小球分组，有C4种，再放到2个小盒中有A4种放法，共有C4A4种放法；第二类，2个盒子中各放2个小球有C4C4种放法，故恰有2个盒子不放球的方法共有C4A4＋C4C4＝84种放法．

二、综合过关训练

1．把编号为1,2,3,4,5的五个球全部放入甲、乙、丙、丁四个盒子中，每盒至少放入一个球，且放入同一盒子的多个球必须连号，那么不同的放法种数为( )

A．96 C．48

B．240 D．40

223

414

解析：选A 由题意，知一定有两个球放入同一盒中，又连号球有(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)四种可能，因此总的放法种数为4A4＝96，选A.

2．把甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名同学，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法种数为( )

A．24 C．36

B．30 D．81

解析：选B 根据题意，总的分法种数为C4A3＝36.若甲、乙两人分在同一个班，则分法种数为A3＝6，所以甲、乙两名学生不能分到同一个班的分法种数为36－6＝30，故选B.

3．四个不同的球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，恰有一个空盒的方法有( ) A．288种 C．96种

B．144种 D．24种

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解析：选B 先从四个球中取两个放在一起，有C4种不同的取法，再把取出的两个球看成一个球与另外两个球看作三个元素，分别放入四个盒子的三个盒子中，有A4种不同方法，据分步乘法计数原理，可得共有C4·A4＝144种不同的方法．故选B.

4．两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )

A．10种 C．20种

B．15种 D．30种

解析：选C 分三种情况：恰好打3局，有2种情形；恰好打4局(一人前3局中赢2局，输1局，第4局赢)，共有2C3＝6种情形；恰好打5局(一人前4局中赢2局，输2局，第5局赢)，共有2C4＝12种情形．所有可能出现的情形种数为2＋6＋12＝20.

5．有两条平行直线a和b，在直线a上取4个点，直线b上取5个点，以这些点为顶点作三角形，这样的三角形共有________个．

解析：分两类，第一类：从直线a上任取一个点，从直线b上任取两个点，共有C4·C5种方法；第二类：从直线a上任取两个点，从直线b上任取一个点共有C4·C5种方法．∴满足条件的三角形共有C4·C5＋C4·C5＝70个．

答案：70

6．将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有________种．

解析：根据2号盒子里放球的个数分类．第一类，2号盒子里放2个球，有C4种放法．第二类，2号盒子里放3个球，有C4种放法，所以不同的放球方法的种数为C4＋C4＝10.

答案：10

7．某市工商局对35种商品进行抽样检查，结果有15种假货，先从35种商品中选取3种．

(1)恰有2种假货在内的不同取法有多少种？ (2)至少有2种假货在内的不同取法有多少种？ (3)至多有2种假货在内的不同取法有多少种？

解：(1)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件，有C20C15＝2 100种取法．所以恰有2种假货在内的不同取法有2 100种．

(2)选取2件假货有C20C15种，选取3件假货有C15种，共有C20C15＋C15＝2 555种取法．所以至少有2种假货在内的不同取法有2 555种． (3)选取3件的种数有C35，因此有C35－C15＝6 090种取法．所以至多有2种假货在内的不同取法有6 090种． 8．从1到9的九个数字中取三个偶数和四个奇数． (1)能组成多少个没有重复数字的七位数？

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