高中数学-指数函数例题精讲
【例1】求下列函数的定义域与值域：
(1)y＝312?x(2)y＝2x?2?1(3)y＝3?3x?1
解 (1)定义域为x∈R且x≠2．值域y＞0且y≠1． (2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x≥－2}，值域为y≥0． (3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x≤2}，∵0≤3－3x－1＜3，
∴值域是0≤y＜3．
【例2】指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图像如图2．6－2所示，则a、b、c、d、1之间的大小关系是
[ ]
A．a＜b＜1＜c＜d B．a＜b＜1＜d＜c C． b＜a＜1＜d＜c D．c＜d＜1＜a＜b
解 选(c)，在x轴上任取一点(x，0)，则得b＜a＜1＜d＜c． 【例3】比较大小：
(1)2、32、54、88、916的大小关系是：(2)0.6?4513?2()2．
(3)4.54.1________3.73.6
解(1)∵2?2，32?2，54?2，88?2，916?2，函数y＝2x，2＞1，该函数在(－∞，＋∞)上是增函数，13241又＜＜＜＜，∴32＜88＜54＜916＜2．38592
121325384913?2解 (2)∵0.6＞1，1＞()，2 413??∴0.65＞()2．2?45解 (3)借助数4.53.6打桥，利用指数函数的单调性，4.54.1＞4.53.6，作函数y1＝4.5x，y2＝3.7x的图像如图2．6－3，取x＝3.6，得4.53.6＞3.73.6
∴ 4.54.1＞3.73.6．
说明 如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例2中的(1)．若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助1作桥梁，如例2中的(2)．其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点，即为4.53.6(或3.74.1)，如例2中的(3)．
【例4】比较大小n?1an与nan?1(a＞0且a≠1，n＞1)．n?1解ann?1na?a1n(n?1)
当0＜a＜1，∵n＞1，1n(n?1)1＞0，n(n?1)＜1，∴n?1an＜nan?11当a＞1时，∵n＞1，＞0，
n(n?1)∴a∴a1n(n?1)＞1，n?1an＞nan?1【例5】作出下列函数的图像：
1x?1(1)y＝()2(3)y＝2|x-1| ＝|1－3x|
(2)y＝2x－2，
(4)y
11解 (1)y＝()x?1的图像(如图2．6－4)，过点(0，)及(－1，1)．22
1x是把函数y＝()的图像向左平移1个单位得到的．2解 (2)y＝2x－2的图像(如图2．6－5)是把函数y＝2x的图像向下平移2个单位得到的．
解 (3)利用翻折变换，先作y＝2|x|的图像，再把y＝2|x|的图像向右平移1个单位，就得y＝2|x-1|的图像(如图2．6－6)．
解 (4)作函数y＝3x的图像关于x轴的对称图像得y＝－3x的图像，再把y＝－3x的图像向上平移1个单位，保留其在x轴及x轴上方部分不变，把x轴下方的图像以x轴为对称轴翻折到x轴上方而得到．(如图2．6－7)
3x2－5x＋6【例6】求函数y＝()的单调区间及值域．4
3解 令u＝x2－5x＋6，则y＝()u是关于u的减函数，而u＝x2－5x455＋6在x∈(?∞，]上是减函数，在x∈[，?∞)上是增函数．∴函数22
3x2－5x＋655y＝()的单调增区间是(?∞，]，单调减区间是[，?∞)．422
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