运用数学史玩转单位分数
栗小妮 贾彬
【摘 要】单位分数是一个古老而有趣的问题，“将一个分数拆为几个不同的单位分数之和”是沪教版数学教科书六年级第二章“分数”探究活动（二）的内容。为了让学生体验数学探究的乐趣，研究者从HPM的视角进行探究式教学设计，利用《莱茵德纸草书》中“把7个面包分给10个人”的问题，引入单位分数的学习，让学生体会单位分数在实际生活中的价值;通过小组合作探究分解的方法，让学生感受单位分数的魅力;通过解读2n分解表和介绍“太阳神眼睛”，给学生提供了课外继续探究和学习的机会。
【关键词】HPM;单位分数;探究性学习
【作者简介】栗小妮，教育学博士，上海市长宁区教育学院教研员; 贾彬，高级教师，上海民办建平远翔学校党支部书记。
【基金项目】上海高校“立德树人”人文社会科学重点研究基地之数学教育教学研究基地项目“数学课程与教学中如何落实立德树人研究”（A8）
单位分数是一个古老而有趣的问题，“将一个分数拆为几个不同的单位分数之和”是沪教版数学教科书六年级第二章“分数”探究活动（二）的内容。教科书首先从图片“太阳神眼睛”引入，展示了将12、13、23、35拆成几个单位分数之和的过程;然后通过展示将1拆成几个单位分数之和的不同拆分方法，说明将一个分数拆成几个单位分数之和的拆分方法不唯一;最后，教师让学生将34、27、716、527拆分为几个单位分数之和，体验数学探究之乐。
尽管将一个分数拆分为几个不同的单位分数之和是一个很有意义的问题，但用单位分数进行计算却会使得计算变得非常复杂。既然如此，为何古埃及人对单位分数还如此情有独钟呢？基于此，笔者从HPM的视角进行教学设计，让学生感受单位分数的魅力，体会古埃及人使用单位分数的原因，体验数学探究的乐趣。
一、历史素材及解读
古埃及人发明了一种书写分数的方法，这些分数的分子均为1，它们被称为单位分数（23例外）。古埃及人将所有真分数都表示为一些单位分数的和，并且只利用单位分数进行书写与计算，对于分子不是1的分数，古埃及人习惯将它们转化为分子是1的分数再进行计算。
单位分数的广泛使用是古埃及数学的一个重要而有趣的特色。《莱茵德纸草书》上就记载了一张将形如2k（k为从5到101的奇数）的分数分解为单位分数之和的表。其中25分解为13+115，211分解为16+166，…，最后一项是将2101分解为
1101+1202+1303+1606。有很多学者提出了不同的方法来解释这个表的来源，但至今这个表还有很多谜团尚未解开[1]。
古埃及人为什么对单位分数情有独钟，据数学史家推测，其直接原因可能是分配问题，因为利用单位分数解决分配问题具有简单的操作意义，如《莱茵德纸草书》中的问题3“如何给10个人分配6个面包”。答案是每个人分得面包的12+110，这个答案比我们现在的答案35要烦琐些，但在实际的分配中会更容易，即只要将其中的5个面包对半分，再把第6个面包分成10份，则每人平均分半份外加十分之一份，很容易看出，每个人所分得的一样多[2]。古埃及人这种单位分数的分法和用法在地中海区域延续了两千多年。
数学史的运用方式主要有复制式、顺应式、附加式以及重构式[3]，基于以上历史素材分析，笔者进行了HPM视角下的单位分数教学设计。首先，顺应式运用《莱茵德纸草书》中的分面包问题引入本节课，让学生体会单位分数在实际操作解决分配问题中的价值。
其次，依据探究式教学的四阶段模式：准备与聚焦、探索与发现、综合与交流以及评估与延伸[4]来设计探究活动，让学生自主思考，总结归纳拆分的方法。再次，顺应式运用“2k”分解表设计例题，让学生利用总结的拆分方法进行单位分数的拆分练习，再與历史上的拆分结果进行对照，让历史再现于课堂。最后，介绍教科书上的“太阳神眼睛”，并留下悬念，供学生课后继续思考、探究。
二、教学设计与实施 （一）借用史料，引入新课
师：在《莱茵德纸草书》中，古埃及人使用的分数，除了23，所有分数都用单位分数及其和表示，因此，单位分数又称为埃及分数。下面来看个例子。
（教师PPT展示：把7个面包分给10个人，问：每人分得多少？[5]） 生：710。
师：这在实际生活中是怎么分的呢？
生：将一个面包平均分成10片，7个面包一共分成70片，一个人分得其中的7片，这7片占一个面包的710。
师：是的，这是我们生活中常用的分割方法，那么古埃及人是如何分的呢？他们先将一个面包三等分，7个面包被等分成21份，然后将这21份平均分给10个人，该怎么分呢？
生：每个人2份，还剩1份。 师：剩下的这1份，又怎么分呢？
生：切成10片，每人1片。
师：这一片面包占剩下的这份面包的几分之几？ 生：110。
师：这一片面包占整个面包的几分之几？ 生：130。
师：请同学解释一下。
生：首先将这个面包分成了3份，一份是整个面包的13，然后将其中的一份，也就是13再分成10片，那这片面包就占整个面包的130。
师：在这个分法中，一个人分得的面包占整个面包的几分之几？
生：之前每人分得整个面包的23，后来又分得整个面包的130，一共分得整个面包的23+130。
师：验证一下23+130与710的大小关系。 生：相等。
师：确实是相等的，那么古埃及人的分法有什么优势呢？ （课堂内出现短暂的沉默。）
师：我们从另一个角度细算一下，按我们现在的分法，一个面包分成10片需要切多少刀，7个面包都分成10片，共需要切多少刀？
生：一个面包分成10片需要切9刀，7个面包一共需要切63刀。
师：古埃及人的分法共需要切多少刀呢？
生：一个面包分成3份需要切2刀，7个面包一共需要切14刀，最后一份分成10片需要切9刀，总共切了14+9=23刀。
师：如果从工作量上来讲，古埃及人的分法确实有其高明之处，他们为何对单位分数如此喜欢，下面让我们一起来研究单位分数。
（二）小组合作，探究拆法
教师让学生阅读课本中的相关内容，观察课本中各式拆分的过程和结果，并以小组的形式说一说等号后面式子的由来，找出拆分的方法，再进行小组汇报。
课本中的例子如下：
12=36=1+26=16+26=16+13; 13=412=1+312=112+312=112+14; 23=46=1+36=16+36=16+12;
35=2440=4+2040=440+2040=110+12;
35=915=1+3+515=115+315+515=115+15+13。
师：有的小组已经找到方法，有的小组还存在困惑，还有的小组在寻找方法的过程中又产生了新的疑问。请找到方法的小组说一说你们的方法，不过说方法之前，请说一说我们想要找到什么方法。
生1：找到把一个分数化成单位分数相加的形式。 师：相加的结果我们称之为什么？
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