生物医学信号处理试卷集
试卷一答案和评分标准：
一、假设有两个离散平稳随机过程x(n),y(n)，Rx(m)?0.6m，Ry(m)?0.8，它们统计独立，求这
m两个随机过程的乘积的自相关函数和功率谱密度。（14分） 解：
设z=xy，
Rz(m)?E[z(n)z(n?m)]?E[x(n)y(n)x(n?m)y(n?m)]?E[x(n)x(n?m)]E[y(n)y(n?m)]?Rx(m)Ry(m)?0.48m（6分）
??mm???Pz(ej?)?DTFT[Rz(m)]??0.48e?j?m（4分）
0.7696=1.2304?0.96cos?（4分）
二、设线性系统如图所示，已知sn,nn相互独立，且Ss(ej?)?sin?，
2Sn(ej?)?12。要求设计一
j?2?n与真实信号sn的均方误差最小，即H(e)?csin?，试确定c使得滤波后的输出s个滤波器
?n)2]最小。E[(sn?s（14分）
x(n)?s(n)?n(n)h(n)?(n)y(n)?s 解答：
?n其自相关为： 设误差为en?sn?s?n)(sn?m?s?n?m)]?Rs(m)?RssRe(m)?E(enen?m)?E[(sn?s?(m)?Rs?s(m)?Rs?(m)（2分）
j?j?j?j?j?S(e)?S(e)?S(e)?S(e)?S(e)（4分） ???essssss做傅立叶变化：
221Ss?(ej?)?H(ej?)Sx(ej?)?H(ej?)[Ss(ej?)?Sn(ej?)]?c2sin6??c2sin4?2 （2分）
Sss?(ej?)?H(ei?)Ssx(ei?)?H(ei?)Ss(ei?)?csin4?
Ss?s(ej?)?H?(ei?)Sxs(ei?)?H?(ei?)Ss(ei?)?csin4? （2分）
???c?c2123412 （3分）
求导等于零：
copt?34 （1分）
三、简述横向结构的随机梯度法算法步骤。（14分） 解答：
?观察到p个值 X(T)?[xT,xT-1,xT-2,?xT-p?1]?步骤1：（2分）
???计算W(T?1)?W(T)?2?eX，初值W与eT预先给出，?先给定。T(T)步骤2：（4分）
?当有新观测值xT?1后，令X(T?1)?[xT?1,xT,?xT?p?2]????计算新的误差：e?d?W(T?1)X(T?1)T?1T?1步骤3：（5分）
转入步骤2，代入得到W（T+2），e（T+2）…..使得W接近最优解。（3分）
A(p)四、利用
p0??A(p?1)?(p)???????A(p?1)?0?inv?推导L-D算法来解Y-W方程： ??0?Rxx(m)??akRxx(m?k)k?1m?0；
2?w?Rxx(0)??akRxx(?k)k?1pm?0。（16分）
解：
R(1)?R(0)?R(1)R(0)?????P阶Y-W方程写成矩阵形式：?R(p)R(p?1)R(1)?R(0)?R(1)R(0)?????p-1阶方程：?R(p?1)R(p?2)2??R(p)??1???wpp???a1???R(p?1)?0????????????????p????R(0)???0??，R(p)?A(p)?E(P) ?ap???2??R(p?1)??1???w(p?1)?ap?1????R(p?2)?01???????????????????p?1?a?R(0)??0????， ?p?1??(p?1)(P?1)R(p?1)?A(p?1)?E(P?1)，（2分）R(p?1)?Ainv?Einv（2分）
A(p)??1??(p)?0?(p?1)(p)(p?1)??a1???ap?1?(p)(p?1)(p)(p?1)??0???A(p?1)???ak?ak???ap?k(p)????????(p?1)???(p)a(pp)??(p)00???Ainv?=???????，所以有：?（4分）
?R(0)R(1)?R(p)??R(p?1)R(p)??A(p?1)?(p?1)??0?????0?A??(p)?(p)(p)?R(1)??(p?1)?R???????R???R(1)?A(p?1)???(p?1)??????A00??invinv???????????R(p)?R(1)R(0)????R(p)?R(p)?A(p)=
?R(p)?p?1a(p?1)R(p?k)???E(p?1)?kp?1??E(p)???(p)???k?1(p?1)R(p)??akR(p?k)?(p?1)???Einvk?1????，（4分）
?由最后一行：
(p)??R(p)??akk?1p?1(p?1)R(p?k)2?w(p?1)（2分）
22???w[1?(?(p))2]w(p)(p?1)由第一行：，得到三个推导式。（2分）
五、有一信号s(n)，其自相关函数Rs(m)?0.7,m?0,?1,?2?，被一零均值，方差为0.4的白噪n(n)所淹没，s(n)与n(n)统计独立。设计一个长度等于3的FIR数字滤波器，其输出y(n)使得
mE[(y(n)－s(n))2]最小化。（14分）
解：根据均方误差最小准则得到W-H方程：
Rxs(j)??hopt(m)Rxx(j?m)m?0N?1j?0,1,2,?,N?1，其中x=s+n，表示输入信号，
因为N=3，且Rxx(m)?Rs(m)?Rn(m)，
Rxs(m)?E[x(n)s(n?m)]?E[(s(n)?n(n))s(n?m)]?Rs(m)，代入W-H方程得： Rs(j)??hopt(m)[Rs(j?m)?Rn(j?m)]m?02j?0,1,2（4分）
把Rs(m)?0.7,m?0,?1,?2?，Rn(m)?0.4?(m)代入上式得三个方程：
2-m?j?0:1??hopt(m)[0.7?0.4?(－m)]?m?02?1-mj?1:0.7??hopt(m)[0.7?0.4?(1－m)]?m?0?2?j?2:0.72??hopt(m)[0.72-m?0.4?(2－m)]m?0?（4分）
m1.40.70.720.70.72?hopt(0)??1????1.40.7?hopt(1)????0.7???0.72?0.71.4?? ?hopt(2)???hopt(0)??0.6121?????h(1)?0.1681opt?????hopt(2)???（4分） ??0.0517?解得：??1-2H(z)?0.6121?0.1681z?0.0517z所以设计的滤波器的传递函数为：（2分）
六、如何用AR法进行谱估计？为什么AR谱估计需要的数据比古典法短？（14分）
w(n)解：h(n)x(n) （2分）
2Px(ej?)??wH(ej?)2在上图模型中，输入输出的功率谱关系为：以AR建模为例H(z)?2?w（3分）
11??azk?1p(p)k?k代入?Px(e)?j?|1??a(kp)e?j?k|2k?1p（5分）
古典法是通过DFT法计算得到功率谱估计的，DFT是把数据看成是周期重复的假设下做出的；AR谱则是对延迟p围外的自相关函数做预测延伸取得的，因而数据的有效围宽得多。（4分）
七、画出卡尔曼滤波的信号模型和一步递推法模型图。（14分） 解：信号模型：（7分）
w(k)w1(k)?S(k?1)z?1S(k)C(k)?X(k)A(k?1)
一步递推法模型：（7分）
X(k)??~X(k)H(k)??(k)Sz??(k)X?1C(k)A(k)?(k?1)S
试卷二答案和评分标准：
一、xn是零均值，方差为?的白噪过程，把它先送入一个平均器，得
2xyn?1(xn?xn?1)2，然后再将yn送给一个差分器zn?yn?yn?1，求zn的均值、方差、自相关函数和功率谱密度。（14分） 解答： zn?yn?yn?1?111(xn?xn?1)?(xn-1?xn?2)?(xn?xn?2)222（2分）
1E(zn)?E((xn?xn?2))?02（2分）
1122?E[(xn?xn?2)2]?E[(xn?2xnxn?2?xn)]2R(0)?2??E(z)?E(zn)44=?x/2=zn（2分）
2z2n21?E[(xn?xn?2)(xn?1?xn?1)]Rzn(1)E(znzn?1)4==0
12Rzn(2)E(znzn?2)?E[4(xn?xn?2)(xn?2?xn)]?x==－/4
当|m|>=3，自相关都为0。
1211?[?(m)??(m?2)??(m?2)]xRzn(m)222=（6分） 121-jw21jw212??[1?e?e]??x[1?cos2w]xPzn(w)2222（2分）
二、一个一阶递归滤波器，输入是零均值、方差为1的白噪声，滤波方程是
yn?ayn?1?bxna?1
b2Py(e)?1?a2?2acos?； 证明：
j?求
Ry(m)。
（14分）
b1?az?1，则
解：
Py(ej?)?Px(ej?)H(ej?)j?22，（2分）对滤波方程求传递函数：
H(z)?b2b2j?H(e)?Py(e)?j?P(e)?11?a2?2acos?（2分） 1?a2?2acos?，x（4分）而，所以得证：
Ry(m)?Rx(m)?h(?m)?h(m)，而Rx(m)??(m)，h(m)?bamu(m)，h(?m)?ba?mu(?m)（3分）
生物医学信号处理历年试题-电子科大
