南京、盐城2020届高三模拟考试试卷
数 学
(满分160分，考试时间120分钟)
2020．4
参考公式：
圆锥的侧面积公式：S＝πrl，其中r为圆锥底面圆的半径，l为圆锥的母线长． 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 已知集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|x(x－5)＜0}，则A∩B＝________． 2. 已知复数z＝1＋2i，其中i为虚数单位，则z2的模为________．
3. 如图是一个算法流程图，若输出的实数y的值为－1，则输入的实数x的值为________．
(第3题)
(第4题)
4. 某校初三年级共有500名女生，为了了解初三女生1分钟“仰卧起坐”项目训练情况，统计了所有女生1分钟“仰卧起坐”测试数据(单位：个)，并绘制了如图频率分布直方图，则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生有________个．
5. 从编号为1，2，3，4的4张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上数字能被第一次抽得的卡片上的数字整除的概率为________．
6. 已知函敬f(x)是定义在R上的奇函敷，且周期为2，当x∈(0，1]时，f(x)＝x＋，则f(a)的值为________．
π
7. 若将函数f(x)＝sin(2x＋)的图象沿x轴向右平移φ(φ＞0)个单位长度后所得的图象与f(x)的
3图象关于x轴对称，则φ的最小值为________．
8. 在△ABC中，AB＝25，AC＝5，∠BAC＝90°，则△ABC绕BC所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为________．
9. 已知数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，满足{a1，a2，a3}＝{b1，b2，b3}＝{a，b，－2}，其中a＞0，b＞0，则a＋b的值为________．
PF
10. 已知点P是抛物线x2＝4y上动点，F是抛物线的焦点，点A的坐标为(0，－1)，则的最PA小值为________．
11. 已知x，y为正实数，且xy＋2x＋4y＝41，则x＋y的最小值为________．
12. 在平面直角坐标系xOy中，圆C：(x－m)2＋y2＝r2(m＞0)．已知过原点O且相互垂直的两条直线l1和l2，其中l1与圆C相交于A，B两点，l2与圆C相切于点D.若AB＝OD，则直线l1的斜率为________．
→→→
13. 在△ABC中，BC为定长，|AB＋2AC|＝3|BC|.若△ABC面积的最大值为2，则边BC的长为________．
1
14. 已知函数f(x)＝ex－x－b(e为自然对数的底数，b∈R)．若函数g(x)＝f(f(x)－)恰有4个零点，
2则实数b的取值范围是________．
二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分)
如图，在三棱锥PABC中，点D，E分别为AB，BC的中点，且平面PDE上平面ABC.
(1) 求证：AC∥平面PDE；
(2) 若PD＝AC＝2，PE＝3，求证：平面PBC⊥平面ABC.
16. (本小题满分14分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝bcos C＋csin B. (1) 求B的值；
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(2) 设∠BAC的平分线AD与边BC交于点D.已知AD＝，cos A＝－，求b的值．
725
17. (本小题满分14分)
如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点A与小岛圆心C相距3千米．为方便游人到小岛观光，从点A向小岛建三段栈道AB，BD，BE，湖面上的点B在线段AC上，且BD，BE均与圆C相切，切点分别为D，E，其中栈道AB，BD，BE和小岛在同一个平面上．沿圆C的优弧(圆︵
C上实线部分)上再修建栈道DE，记∠CBD为θ.
(1) 用θ表示栈道的总长度f(θ)，并确定sin θ的取值范围； (2) 求当θ为何值时，栈道总长度最短．
18. (本小题满分16分)
x2y21
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，且过点(0，3)．
ab2(1) 求椭圆C的方程；
(2) 已知△BMN是椭圆C的内接三角形．
① 若点B为椭圆C的上顶点，原点O为△BMN的垂心，求线段MN的长；
② 若原点O为△BMN的重心，求原点O到直线MN距离的最小值．
19. (本小题满分16分)
f（x）5
已知函数f(x)＝x3－x2－(a－16)x，g(x)＝aln x，a∈R.函数h(x)＝－g(x)的导函数h′(x)在[，
x24]上存在零点．
(1) 求实数a的取值范围；
(2) 若存在实数a，当x∈[0，b]时，函数f(x)在x＝0时取得最大值，求正实数b的最大值； (3) 若直线l与曲线y＝f(x)和y＝g(x)都相切，且l在y轴上的截距为－12，求实数a的值．
20. (本小题满分16分)
已知无穷数列{an}的各项均为正整数，其前n项和为Sn.记Tn为数列{an}的前an项和，即Tn＝a1
＋a2＋…＋an.
(1) 若数列{an}为等比数列，且a1＝1，S4＝5S2，求T3的值；
Tn
(2) 若数列{an}为等差数列，且存在唯一的正整数n(n≥2)，使得<2，求数列{an}的通项公式；
an
(3) 若数列{Tn}的通项为Tn＝
n（n＋1）
，求证：数列{an}为等差数列. 2
江苏省南京市盐城市2020届高三第二次模拟考试 数学(含答案)
