第95练 概率与统计小题综合练
[基础保分练]
1．从1～10这十个自然数中任选一个数，该数为质数的概率为________．
2．一只蚊子在一个正方体容器中随机飞行，当蚊子在该正方体的内切球中飞行时属于安全飞行，则这只蚊子安全飞行的概率是________．
3．安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有________种．(用数字作答)
4．(2024·苏州质检)异面直线a，b上各有5个点和8个点，经过这些点最多能确定________个三角形．
5．若二项式(sinφ＋x)的展开式中，x的系数为3，则cos2φ的值为________． 6．在区间[－3,5]上随机取一个实数a，则使函数f(x)＝x＋4x＋a无零点的概率为________． 7.
如图，圆被其内接三角形分为4块，现有5种颜色准备用来涂这4块，要求每块涂一种颜色，且相邻两块的颜色不同，则不同的涂色方法有________种．(填数字)
2
6
5
8．(2024·泰州质检)位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；1
移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动5次后位于点(x，
2
y)，则x2＋y2<25的概率为________．
9．袋中有大小质地完全相同的2个红球和3个黑球，不放回地摸出两球，设“第一次摸得红球”为事件A，“摸得的两球同色”为事件B，则P(B|A)＝________.
10．如图是某工厂对一批新产品长度(单位：mm)检测结果的频率分布直方图．估计这批产品的中位数为________．
[能力提升练]
1．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为ξ，已知P(ξ＝1)
1
16
＝，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为________． 45
133
2.如图，三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，，，将它们中某两个元件并联后再
244和第三个元件串联接入电路，在如图的电路中，电路不发生故障的概率是________．
3．(2024·扬州模拟)已知随机变量ξ的概率分布为
ξ P
1 x 1 64 1 2y 8
且均值E(ξ)＝，则方差V(ξ)＝________.
3
4．已知平面向量a＝(x－1，y)，|a|≤1，则事件“y≥x”的概率为________．
5．现有20～30岁若干人、30～40岁30人、40～50岁30人共3类人群组成的一个总体．若抽取一个容量为10的样本，来分析拥有自住房的比例．如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体，则总体容量n的值可能是________．(写出n的所有可能值) 6．下列四个命题
①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；
②从含有2008个个体的总体中抽取一个容量为100的样本，现采用系统抽样的方法应先剔除18人，则每个个体被抽到的概率均为；
20
③从总体中抽取的样本数据共有m个a，n个b，p个c，则总体的平均数x的估计值为
ma＋nb＋pc；
m＋n＋p④某中学采用系统抽样的方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查，现将800名学生从001到800进行编号，已知从497～512这16个数中取得的学生编号是503，则初始在第1小组001～016中随机抽到的学生编号是007. 其中真命题的个数是________．
2
答案精析
基础保分练
π1
1．0.4 2. 3.210 4.220 5.
62115
6. 7.320 8. 81619. 4
2211PAB1
解析 由P(A)＝，P(AB)＝×＝，由条件概率得P(B|A)＝＝.
55410PA410．22.5
解析 根据频率分布直方图，
∵0.02×5＋0.04×5＝0.3<0.5,0.3＋0.08×5＝0.7>0.5， ∴中位数应在20～25内， 设中位数为x，
则0.3＋(x－20)×0.08＝0.5， 解得x＝22.5，
∴这批产品的中位数是22.5. 能力提升练 15
1．20% 2.
32173. 9
111
解析 ∵y＋＋＝1，∴y＝，
6231118
∴1×＋x＋4×＝，∴x＝2，
3623
?8?21?8?21?8?2117∴V(ξ)＝?－1?×＋?－2?×＋?－4?×＝.
?3?3?3?6?3?29
114.－ 42π
解析 由题意，平面向量a＝(x－1，y)，且|a|≤1，即(x－1)＋y≤1，表示以(1,0)为圆心，半径为1的圆及其内部，其面积为S＝π×1＝π，其中弓形OA的面积为
2
2
2
S1＝S扇形OO1A－S△O1OA
11π12
＝π×1－×1×1＝－， 4242
3
π1－S142
所以所求概率为P＝＝
Sπ11
＝－. 42π
5．100,150,300
解析 根据条件易知，总体容量为n，设总体中的20～30岁的人数为x(x∈N)， 则n＝x＋30＋30＝x＋60.
*
nx＋60*
当样本容量为10时，系统抽样间隔为＝∈N，
1010
所以x＋60是10的倍数． 1010
分层抽样的抽样比为＝，
nx＋60
求得20～30岁、30～40岁、40～50岁的抽样人数分别为x×30010300
、30×＝， x＋60x＋60x＋60所以x＋60应是300的约数， 所以x＋60可能为75,100,150,300.
根据“x＋60是10的倍数”以及“x＋60可能为75,100,150,300”可知，x＋60可能为100,150,300，所以x可能为40,90,240. 经检验，发现当x分别为40,90,240时，10x分别为4,6,8，都符合题意． x＋60
1010x10
＝、30×＝x＋60x＋60x＋60
综上所述，x可能为40,90,240，所以n可能为100,150,300. 6．3
解析 对于①，由于样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度，故①正确；10025
对于②，根据系统抽样为等概率抽样可得每个个体被抽到的概率均为＝，故②错误；
2008502对于③，从总体中抽取的样本数据共有m个a，n个b，p个c，则总体的平均数x的估计值为
ma＋nb＋pc，故③正确；对于④，某中学采用系统抽样的方法，从该校高一年级全体800
m＋n＋p名学生中抽取50名学生做牙齿健康检查，则样本间隔为800÷50＝16，已知从497～512这16个数中取得的学生编号是503.设在第1小组001～016中随机抽到的学生编号是x，则有
4
503＝16×31＋x，解得x＝7，所以在第1小组中抽到的学生编号是007，故④正确．综上①③④为真命题．
5
（江苏专用）2024版高考数学一轮复习加练半小时专题第95练概率与统计小题综合练（理）（含解析）
